Đề bài: Cho $a+b+c=6                                                      (1)$Hãy chứng minh $a^2+b^2+c^2 \geq 12      (2)$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a+b+c=6                                                      (1)$Hãy chứng minh $a^2+b^2+c^2 \geq 12      (2)$
Lời giải

Ta có: $(1) \Leftrightarrow c=6-a-b$, thế vào $(2)$ có $a^2-(6-b)a+(b^2-6b+12) \geq 0    (3)$
Xem $(3)$ là bất phương trình đối vơi ẩn $a, \Delta=-3(b-2)$
Gọi vế trái của $(3)$ là $Q$
Áp dụng $(I)$ ta có $Q=(a+\frac{6-b}{2})^2+\frac{3}{4}(b-2)^2 \geq 0 \Rightarrow Q\geq 0$ (đpcm)
Dấu đẳng thức có khi: $\begin{cases}b-2=0 \\ 2a+6-b=0 \\  c=6-a-b \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=2$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác