Đề bài: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$Chứng minh rằng: $a+2b+c\geq 4\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right) $

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$Chứng minh rằng: $a+2b+c\geq 4\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right) $
Lời giải

Đặt: $\begin{cases}x=1-a\geq 0 \\ y=1-b\geq 0 \\z=1-c\geq 0\end{cases}\left ( x+y+z=2 \right )$
Bài toán tương đương cần chứng minh:
$\left (1- x \right )+2\left (1- y \right )+\left (1- z \right )\geq 4xyz$
$\Leftrightarrow 4-2\left ( x+y+z \right )+\left ( x+z \right )\geq 4xyz\Leftrightarrow x+z\geq 4xyz$
Áp dụng BĐT Cauchy:
$4\left ( x+z \right )=\left ( x+z \right )[\left ( x+z \right )+y]^{2}\geq \left ( x+z \right ).4\left ( x+z \right ).y=$
                                                                 $=4\left ( x+z \right )^{2}.y\geq 4.4xyz=16xyz$
$\Rightarrow x+z\geq 4xyz\Rightarrow \left ( 1 \right )$ đúng. $\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi