Đề bài: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx =\frac{9}{4}                  (1)$Tìm $\min Q$, với $Q=x^2+14y^2+10z^2-4\sqrt{2y}$

Lời giải

Đề bài:
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx =\frac{9}{4}                  (1)$Tìm $\min Q$, với $Q=x^2+14y^2+10z^2-4\sqrt{2y}$
Lời giải

Theo Cô-si ta có $\frac{x^2}{2}+8z^2 \geq 4xz; \frac{x^2}{2}+8y^2 \geq 4yz; 2(y^2+z^2) \geq 4xy$
Công thức từng vế các bất đẳng thức trên ta có: $x^2+10y^2+10z^2 \geq 4(xy+yz+zx)$
* Kết hợp với $(1)$ suy ra $x^2+10y^2+10z^2 \geq 9                     (2)$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} x=4y=4z=2\\ xy+yz+zx=\frac{9}{4}  \end{array} \right.\Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x=2\\ y=z=\frac{1}{2}  \end{array} \right. $
* Lại có $4y^2=(\sqrt{2y})^4 \geq 4\sqrt{2y}-3$ hay $4y^2-4\sqrt{2y} \geq -3             (3)$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\sqrt{2y}=1 \Leftrightarrow  y=\frac{1}{2}$
* Cộng theo từng vế các bất đẳng thức $(2)$ và $(3)$ ta có:
             $10x^2+14y^2-z^2-4\sqrt{2y} \geq 9-3=6$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} x=2\\ y=z=\frac{1}{2}  \end{array} \right.$
Vậy $\min Q=6$, đạt được khi $\left\{ \begin{array}{l} x=2\\ y=z=\frac{1}{2}  \end{array} \right.$      

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi