485. Cho lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\)và \(AB = a,\;AC = a\sqrt 3 \). Mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) tạo với đáy một góc \({45^0}\) ( tham khảo hình bên).

Thể tích khối lăng trụ bằng

Câu hỏi: 485. Cho lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\)và \(AB = a,\;AC = a\sqrt 3 \). Mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) tạo với đáy một góc \({45^0}\) ( tham khảo hình bên).

Thể tích khối lăng trụ bằng

A. \(\frac{{{a^3}}}{4}\).

B. \(\frac{{3{a^3}}}{2}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\).

D. \(\frac{{3{a^3}}}{4}\).

Lời giải

Gọi \(M\)là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BC\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\)và mặt \(\left( {ABC} \right)\) là \(\mathop {AMA’}\limits^ \wedge = \alpha = {45^0}\).

Tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\). Ta có \(\frac{1}{{{{\left( {AM} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {AB} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {AC} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(AMA’\)vuông tại \(A\). Ta có \(\tan \alpha = \frac{{AA’}}{{AM}} \Rightarrow AA’ = AM.\tan {45^0} = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\).

Thể tích khối lăng trụ bằng \(V = AA’.\frac{1}{2}AB.AC = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}.\frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a = \frac{{3{a^3}}}{4}\).

=======