Đề bài: Tìm $a$ để hệ sau đây có nghiệm:   $\begin{cases}\cos x=a\cos^3y \\ \sin x=a\sin^3y \end{cases} $

Lời giải

Bình phương hai vế cả hai phương trình rồi cộng lại ta có:
$\begin{array}{l}
1 = {a^2}(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}y + {\sin ^6}y) = {a^2}(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}y + {\sin ^4}y – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\rm{y}}{\sin ^2}y) \\
{\rm{   = }}{{\rm{a}}^2}(1 – 3{\cos ^2}{\rm{y}}{\sin ^2}y) = {a^2}(1 – (3/4){\sin ^2}2y)
\end{array}$
$ \Leftrightarrow 3{a^2}{\sin ^2}2y = 4({a^2} – 1)$                    $(1)$

a) $a = 0$: (1) vô nghiệm

b) $a \ne 0$:
    $(1) \Leftrightarrow {\sin ^2}2y = \frac{{4\left( {{a^2} – 1} \right)}}{{3{a^2}}} = \frac{4}{3}\left( {1 – \frac{1}{{{a^2}}}} \right)$            $(2)$
Do $0 \le {\sin ^2}2y \le \left| {\sin 2y} \right| \le 1$ nên $(2)$ có nghiệm khi $0 \le \frac{4}{3}\left( {1 – \frac{1}{{{a^2}}}} \right) \le 1 \Leftrightarrow 1 \le {a^2} \le 4 \Leftrightarrow 1 \le \left| a \right| \le 2$.
Đó cũng là điều kiện đủ để hệ có nghiệm.

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình chứa tham số