Đề bài:    Giải hệ phương trình:  \(\begin{cases}2x+y=\frac{3}{x^2} \\ 2y+x=\frac{3}{y^2} \end{cases}\)

Lời giải

Giải
Điều kiện \(x,y\neq 0\). Vậy với điều kiện trên hệ phương trình đã cho tương đương: \(\begin{cases}2x+y=\frac{3}{x^2} \\ 2y+x=\frac{3}{y^2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2x^3+yx^2=3         (1) \\ 2y^3+xy^2=3           (2) \end{cases}\)
Trừ vế theo vế hai phương trình \((1)\) và \((2)\) ta được:
    \(2(x^3-y^3)+xy(x-y)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(2x^2+2y^2+3xy)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x -y=0\\2x^2+2y^2+3xy=0  (*)\end{array} \right.\)
Ta thấy: \(2x^2+2y^2+3xy=2(x^2+y^2+\frac{3}{2}xy)=2[\left ( x+\frac{3}{4} \right )^2+\frac{7}{16}y^2]\neq 0\) ( do \(x,y\neq 0\))
Do đó (*) \(\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Thế \(x=y\) vào \((1)\) ta có: \(2x^3+x^3=3\Leftrightarrow 3x^3=3\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:\(\begin{cases}x=1 \\ y=1 \end{cases}\)

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng