===============
30. Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Biết \(SA\)vuông góc với mặt phẳng đáy \((ABCD)\) và \(SA = AB = BC = a,AD = 2a\). Gọi \(M,\,N\)lần lượt là trung điểm của \(SB,CD\); \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(MN\)và mặt phẳng \((SAC)\). Tính \(\sin \varphi \).
A. \(\sin \varphi = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)
B. \(\sin \varphi = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
C. \(\sin \varphi = \frac{{\sqrt {55} }}{{10}}.\)
D. \(\sin \varphi = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}.\)
Lời giải
Gọi \(E,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(SC,\,AB\).
Vì \(ME,\,NF\)cùng song song với \(BC\) nên \(ME{\rm{//}}NF.\)
Do đó tứ giác \(MENF\)là hình thang.
Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(MF{\rm{//}}SA\) nên \(MF \bot \left( {ABCD} \right).\) Khi đó tứ giác \(MENF\)là hình thang vuông tại \(M,\,F.\)
Trong \(\left( {ABCD} \right),\) gọi \(K = AC \cap FN;\) trong \((MENF),\) gọi \(I = MN \cap EK.\)
Khi đó \(MN \cap \left( {SAC} \right) = I.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}NC \bot AC\\NC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow NC \bot \left( {SAC} \right)\) hay \(C\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) lên \(\left( {SAC} \right)\).
Từ đó suy ra \(\left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {MN,CI} \right) = \widehat {NIC} = \varphi \).
Xét tam giác vuông \(NIC\) ta có \(\sin \varphi = \frac{{NC}}{{IN}}\).
Ta có \(NC = \frac{{CD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Vì nên \(\frac{{IN}}{{IM}} = \frac{{KN}}{{ME}} \Leftrightarrow IN = \frac{2}{3}MN = \frac{2}{3}\sqrt {M{F^2} + F{N^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{3}\).
Vậy \(\sin \varphi = \frac{{NC}}{{IN}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).
=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)
Để lại phản hồi