27. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đúng 4 điểm chung với trục hoành như hình vẽ bên dưới.

DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
27. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đúng 4 điểm chung với trục hoành như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{{\left| x \right|}^3} – 3\left| x \right| + m + 2021} \right)\) có 11 điểm cực trị ?

A. \(0.\)

B. \(2.\)

C. \(5.\)

D. \(1.\)

Lời giải

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} – 3x + m + 2021} \right)\)

\(y = g\left( {\left| x \right|} \right)\) là hàm chẵn

Ta có các nhận xét sau :

– Hàm số \(g\left( {\left| x \right|} \right)\) luôn nhận \(x = 0\) là cực trị.

– Mỗi cực trị dương của hàm số \(g\left( x \right)\) sẽ tương ứng 2 cực trị của hàm số \(g\left( {\left| x \right|} \right)\)

– Các cực trị âm của hàm số \(g\left( x \right)\) không có ý nghĩa gì đối với số cực trị của hàm số \(g\left( {\left| x \right|} \right)\)

Vậy yêu cầu bài toán tương đương với : Tìm \(m\) để \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} – 3x + m + 2021} \right)\) có 5 điểm cực trị dương.

Ta có \(g’\left( x \right) = \left( {3{x^2} – 3} \right)f’\left( {{x^3} – 3x + m + 2021} \right)\).

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  – 1\\f’\left( {{x^3} – 3x + m + 2021} \right) = 0{\rm{  (1)}}\end{array} \right.\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow g’\left( x \right) = 0\) có 5 nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \) phương trình \({\rm{(1)}}\) có \(4\) nghiệm dương phân biệt khác \({\rm{1}}\)

Xét phương trình \({\rm{(1)}}\), ta được

\(\left[ \begin{array}{l}{x^3} – 3x + m + 2021 =  – 1\\{x^3} – 3x + m + 2021 = 1\\{x^3} – 3x + m + 2021 = 2\\{x^3} – 3x + m + 2021 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} – 3x + 2022 =  – m\\{x^3} – 3x + 2020 =  – m\\{x^3} – 3x + 2019 =  – m\end{array} \right.\)  (phương trình cuối là nghiệm kép nên loại)

Ta xét bảng biến triên của đồ thị của 3 hàm số trên

Để phương trình \({\rm{(1)}}\) có \(4\) nghiệm dương khác \(1\) thì \( – m \in \left( {2020;2022} \right)\) hoặc \( – m \in \left( {2018;2019} \right)\).

Suy ra \(m \in \left( { – 2022; – 2020} \right) \cup \left( { – 2019; – 2018} \right)\). \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m =  – 2021\).

===========