ĐỀ BÀI:
Cho \(x,y\) thỏa mãn \({2^{2x – y + 1}} + {3^{2x – y + 1}} – {5^{2x – y + 1}} = {5^{ – 2x + y + 1}} – {2^{ – 2x + y + 1}} – {3^{ – 2x + y + 1}}\left( * \right)\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 2{x^2} – {y^2} – 2x + 3y + 1\).
A. \(2\).
B. \( – 2\).
C. \(1\).
D. \(3\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tự luận:
Phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow {2^{2x – y + 1}} + {3^{2x – y + 1}} + {2^{ – 2x + y + 1}} + {3^{ – 2x + y + 1}} = {5^{ – 2x + y + 1}} + {5^{2x – y + 1}}\)
Đặt \(2x – y = a\), phương trình trở thành \(2\left( {{2^a} + {2^{ – a}}} \right) + 3\left( {{3^a} + {3^{ – a}}} \right) = 5\left( {{5^a} + {5^{ – a}}} \right)\)
Nhận thấy nếu \(a\) là nghiệm thì \( – a\) cũng là nghiệm nên chỉ cần xét \(a \ge 0\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^t} + {x^{ – t}},x > 1\) với số thực \(t\) dương tùy ý.
Ta có \(f’\left( x \right) = t{x^{t – 1}}\left( {1 – {x^{ – 2t}}} \right)\), do \(x > 1\) nên \(1 – {x^{ – 2t}} > 0\)
\( \Rightarrow \) hàm số này đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Do đó, ta được bất đẳng thức sau: \({2^a} + {2^{ – a}} \le {3^a} + {3^{ – a}} \le {5^a} + {5^{ – a}},\forall a \ge 0\) và dấu đẳng thức xảy ra khi \(a = 0\).
Suy ra \(2\left( {{2^a} + {2^{ – a}}} \right) + 3\left( {{3^a} + {3^{ – a}}} \right) \le 5\left( {{5^a} + {5^{ – a}}} \right)\).
Đẳng thức chỉ xảy ra khi \(a = 0\) hay \(2x – y = 0 \Leftrightarrow 2x = y\).
Khi đó \(P = 2{x^2} – {y^2} – 2x + 3y + 1 = – 2{x^2} + 4x + 1 = – 2{\left( {x – 1} \right)^2} + 3 \le 3\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1\). Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(3\) khi \(x = 1\).
\(\)
Tư duy + Casio:
Ta có \({2^{2x – y + 1}} + {3^{2x – y + 1}} – {5^{2x – y + 1}} = {5^{ – 2x + y + 1}} – {2^{ – 2x + y + 1}} – {3^{ – 2x + y + 1}}\)
Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho \(y = 0.01 \to x = 0.005 \Leftrightarrow 2x = y\).
Khi đó \({P_{\max }} = 2{x^2} – {y^2} – 2x + 3y + 1 = – 2{x^2} + 4x + 1\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(3\) khi \(x = 1\).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========