Cho hình chóp \(S.ABC\)có cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tam giác \(ABC\) có các cạnh \(AB = 15;\,\,BC = 14;\,\,CA = 13\). Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((SBC)\) bằng \(60^\circ \). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng

DẠNG TOÁN 43 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho hình chóp \(S.ABC\)có cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tam giác \(ABC\) có các cạnh \(AB = 15;\,\,BC = 14;\,\,CA = 13\). Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((SBC)\) bằng \(60^\circ \). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng

\({V_{S.ABC}} = 112\sqrt 3 \).

B. \({V_{S.ABC}} = 336\).

C. \({V_{S.ABC}} = \frac{{98\sqrt 3 }}{3}\).

D. \({V_{S.ABC}} = 336\sqrt 3 \).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), kẻ \(AI \bot BC\) tại \(I\).

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \)\(BC \bot SA\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC\, \bot \,SA\\BC\, \bot \,AI\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \)\(BC \bot \left( {SAI} \right)\) mà \(BC\, \subset \,\left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {SAI} \right) \bot \left( {SBC} \right)\\\left( {SAI} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI\end{array} \right.\)

Từ đó suy ra hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)là điểm \(H\) thuộc \(SI\).

Góc \(\left( {SA;(SBC)} \right) = \left( {SA;\,SH} \right)\, = \left( {SA;\,SI} \right) = \widehat {ASI} = 60^\circ \).

Ta có: \({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)} = 84\).

Lại có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.AI \Rightarrow \,AI = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} = 12\).

Trong tam giác vuông \(ASI\) có \(SA = \frac{{AI}}{{\tan 60^\circ }} = 4\sqrt 3 \).

Vậy: \({V_{S.ABC}}\, = \,\frac{1}{3}SA.\,{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.4\sqrt 3 .84 = 112\sqrt 3 \).