Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,4y – z + 3 = 0\) và hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z – 2}}{3}\), \({\Delta _2}:\frac{{x + 4}}{5} = \frac{{y + 7}}{9} = \frac{z}{1}\). Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt cả hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\;{\Delta _2}\) có phương trình là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,4y – z + 3 = 0\) và hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z – 2}}{3}\), \({\Delta _2}:\frac{{x + 4}}{5} = \frac{{y + 7}}{9} = \frac{z}{1}\). Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt cả hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\;{\Delta _2}\) có phương trình là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 2 + 4t\\z = 2 – t\end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2 + 4t\\z = 5 – t\end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 11 + 4t\\z = 2 – t\end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 4\\y = – 7 + 4t\\z = – t\end{array} \right.\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử đường thẳng \(d\) cắt đường thẳng \({\Delta _1},\,{\Delta _2}\) lần lượt tại \(A,\,B.\) Khi đó
\(A\left( {1 + a;\, – 2 + 4a;\,2 + 3a} \right)\), \(B\left( { – 4 + 5b;\, – 7 + 9b;\,b} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( {5b – a – 5;\,9b – 4a – 5;\,b – 3a – 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\)có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;\,4;\, – 1} \right)\).
Vì đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với vectơ\(\overrightarrow n \).
Do đó ta có
\(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow n \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5b – a – 5 = 0\\9b – 4a – 5 = 4k\\b – 3a – 2 = – k\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5b – a = 5\\13b – 16a – 13 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( {1;\, – 2;\,2} \right)\).
Đường thẳng \(d\) qua \(A\left( {1;\, – 2;\,2} \right)\), có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n = \left( {0;\,4;\, – 1} \right)\) nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 2 + 4t\\z = 2 – t\end{array} \right.\).