5. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 2x} \right) + \frac{{{x^4}}}{2} – 2{x^3} + 2{x^2} + 2021\) là

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
5. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 2x} \right) + \frac{{{x^4}}}{2} – 2{x^3} + 2{x^2} + 2021\) là

A. \(3\). 

B. \(4\). 

C. \(5\). 

D. \(6\)

Lời giải

Ta có: \(g’\left( x \right) = \left( {2x – 2} \right)f’\left( {{x^2} – 2x} \right) + 2{x^3} – 6{x^2} + 4x\).

\( = 2\left( {x – 1} \right)f’\left( {{x^2} – 2x} \right) + 2\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} – 2x} \right)\).

\( = 2\left( {x – 1} \right)\left[ {f’\left( {{x^2} – 2x} \right) + \left( {{x^2} – 2x} \right)} \right]\).

Đặt \(t = {x^2} – 2x\). Khi đó đồ thị hàm số\(f’\left( t \right)\) cắt đường thẳng \(y =  – t\) tại bốn điểm phân biệt: \(t =  – 1\), \(t = 0\), \(t = 1\), \(t = 2\).

Suy ra: \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} – 2x =  – 1\\{x^2} – 2x = 0\\{x^2} – 2x = 1\\{x^2} – 2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1\\x = 0 \vee x = 2\\x = 1 \pm \sqrt 2 \\x = 1 \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Ta có: \(f’\left( {{x^2} – 2x} \right) >  – \left( {{x^2} – 2x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} – 2x > 2\\0 < {x^2} – 2x < 1\\{x^2} – 2x <  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1 – \sqrt 3  \vee x > 1 + \sqrt 3 \\1 – \sqrt 2  < x < 0 \vee 2 < x < 1 + \sqrt 2 \\VN\end{array} \right.\).

Khi đó BBT như sau:

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) có bốn điểm cực tiểu.