Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên không âm của \(m\) để hàm số \(y = \frac{{\ln x – 10}}{{\ln x – m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;{e^3}} \right)\). Số phần tử của \(S\) bằng

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên không âm của \(m\) để hàm số \(y = \frac{{\ln x – 10}}{{\ln x – m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;{e^3}} \right)\). Số phần tử của \(S\) bằng    

A. \(7\).                            B. \(8\).                          C. \(6\).                         D. \(9\).

  Lời giải

                 Ta có \(y’ = \frac{{\frac{1}{x}\left( {\ln x – m} \right) – \frac{1}{x}\left( {\ln x – 10} \right)}}{{{{\left( {\ln x – m} \right)}^2}}}\) \( = \frac{{\frac{1}{x}\left( {10 – m} \right)}}{{{{\left( {\ln x – m} \right)}^2}}}\).

                 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {1;{e^3}} \right)\) \( \Leftrightarrow y’ > 0,{\rm{ }}\forall x \in \left( {1;{e^3}} \right)\)

                 \( \Leftrightarrow \frac{{\frac{1}{x}\left( {10 – m} \right)}}{{{{\left( {\ln x – m} \right)}^2}}} > 0,{\rm{ }}\forall x \in \left( {1;{e^3}} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10 – m > 0\\m \ne \ln x,{\rm{ }}\forall x \in \left( {1;{e^3}} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 10\\m \notin \left( {0;3} \right)\end{array} \right.\).

                 Do \(m\) nguyên không âm nên \(m \in \left\{ {0;3;4;5;6;…;9} \right\}\). Vậy có \(8\) giá trị \(m\) thỏa mãn.