Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng $(P)$ bất kì không đi qua $S$, cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại các điểm $A',B',C',D'$. Chứng minh rằng:  $\frac{SA}{SA'}+\frac{SC}{SC'}=\frac{SB}{SB'}+\frac{SD}{SD'}$

Lời giải

Giả sử $AC$ cắt $BD$ tại $O$ và $A’C’$ cắt $B’D’$ tại $O’$.
Đặt:
$\overrightarrow {SA}=a.\overrightarrow {SA’},\overrightarrow {SB}=b.\overrightarrow {SB’},\overrightarrow {SC}=c.\overrightarrow {SC’},\overrightarrow {SD}=d.\overrightarrow {SD’}$
Khi đó:
$\frac{SA}{SA’}+\frac{SC}{SC’}=a+c,\frac{SB}{SB’}+\frac{SD}{SD’}=b+d$
Ta lần lượt có:
$\overrightarrow {SA}+\overrightarrow {SC}=2\overrightarrow {SO}=\overrightarrow {SB}+\overrightarrow {SD}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {SD}=\overrightarrow {SA}+\overrightarrow {SC}-\overrightarrow {SB}$
$\overrightarrow {SD’}=\frac{1}{d}.\overrightarrow {SD}=\frac{1}{d}(\overrightarrow {SA}+\overrightarrow {SC}-\overrightarrow {SB})=\frac{1}{d}(a\overrightarrow {SA’}+c\overrightarrow {SC’}-b\overrightarrow {SB’})$
$=\frac{a}{d}\overrightarrow {SA’}+\frac{c}{d}\overrightarrow {SC’}-\frac{b}{d}\overrightarrow {SB’}$ (*)
Và vì các điểm $A’,B’,C’,D’$ đồng phẳng nên từ (*) suy ra:
$\frac{a}{d}+\frac{c}{d}-\frac{b}{d}=1 \Leftrightarrow a+c-b=d$
$\Leftrightarrow a+c=b+d \Rightarrow \frac{SA}{SA’}+\frac{SC}C=\frac{SB}{SB’}+\frac{SD}{SD’}$