Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2a, BC=a$. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng $a\sqrt{2} $a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$b) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, CD;    K$ là một điểm trên cạnh $AD$ sao cho $AK=\frac{a}{3} $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $SK$

Lời giải

a) Vẽ $SO\bot (ABCD)$, ta có: $SA=SB=SC=SD=a\sqrt{2} $
$\Rightarrow  OA=OB=Oc=OD\Rightarrow  O $ là tâm hình chữ nhật $ABCD$
Ta có: $AC=BD=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt{5}  $
$\begin{array}{l}
 \Rightarrow OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} – O{A^2}}  = \sqrt {2{a^2} – \frac{{5{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\
 \Rightarrow V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.2a.a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3} (đvdt)
\end{array}$

b) Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau:
– Gốc $O$
-Trục $Ox$ đi qua trung trực của $BC$
-Trục $Oy$ đi qua trung trực của $CD$
-Trục $Oz$ đi qua $OS$

Khi đó: $N(0;\frac{a}{2};0 ),M(0;-\frac{a}{2};0), C(a;\frac{a}{2};0), A(-a;-\frac{a}{2};0), D(-a;\frac{a}{2};0 ), S(0;0;\frac{a\sqrt{3} }{2} )$

$\Rightarrow  \overrightarrow{SA}=(-a;-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3} }{2} ), \overrightarrow{SD}=(-a;\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3} }{2}  )    $
Vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SD}  ]=(\frac{a^2\sqrt{3} }{2};9;-a^2 ) $ hay $(\sqrt{3};0;-2 )$
Phương trình mặt phẳng $(SAD):\sqrt{3}x-2(z-\frac{a\sqrt{3} }{2} ) =0\Leftrightarrow  \sqrt{3}x-2z+a\sqrt{3}=0  $
Ta có: $MN//AD\Rightarrow  MN//(SAD)$ chứa $AK$
$\Rightarrow  $ Khoảng cách giữa $MN$ và $AK$ là khoảng cách từ $O\in MN$ đến $(SAD)$
$\Rightarrow  d(MN,SK)=d(O,(SAD))=\frac{|a\sqrt{3} |}{\sqrt{7} } =\frac{a\sqrt{21} }{7} $