Đề bài:   Cho hình cầu nội tiếp một hình chóp tam giác đều. Biết tỉ số thể tích hình chóp và thể tích hình cầu bằng $k$. Xác định góc nghiêng giữa mặt bên và đáy hình chóp. Xác định giá trị của $k$ để bài toán giải được.

Lời giải

Gọi bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp bằng $r$, góc nghiêng $\widehat {DEC}=x$ và $HE=a, V_{ch}$ là thể tích hình chóp, $V_c$ là thể tích hình cầu.
Ta có: $r=a\tan \frac{x}{2}.DH=a\tan x, AB=2\sqrt{3}a^3\tan x$
$V_{ch}=\frac{1}{2}CE.AB\frac{1}{3}DH=\sqrt{3}a^3\tan x$
       $=\sqrt{3}a^3\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-\tan^2 \frac{x}{2}}$
$V_c=\frac{4}{3}\pi.a^3\tan^3\frac{x}{2}; \frac{V_{ch}}{V_c}=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}.\frac{2}{(1-\tan^2\frac{x}{2}).\tan^2\frac{x}{2}}=k$
$\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}=k(1-\tan^2 \frac{x}{2}).\tan^2\frac{x}{2}  (1)$
Đặt $\tan^2 \frac{x}{2}=X, k=X.\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}, (1)$ trở thành: $X^2-X+\frac{1}{K}=0   (2)$
Nghiệm của phương trình $(2) X=\frac{1\pm \sqrt{\frac{K-4}{K}}}{2}$
$X$ tồn tại nếu $K>4 \Rightarrow k>\frac{6\sqrt{3}}{\pi}$. Hơn nữa, với $K>4$ thì $(2)$ cho hai nghiệm dương $x$ được tính từ $\tan^2 \frac{x}{2}=X$
Vì $x$ là góc nhọn nên lấy $\tan \frac{x}{2}=\sqrt{X} \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctan \sqrt{X}$
$\Rightarrow x=2\arctan \sqrt{X}$ có hai giá trị $X$ nên cũng có hai giá trị $x$