Đề bài: Cho tứ diện $ABCD.$Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,AD$$a.$ Hãy tính cosin của góc giữa $AB,DM$ biết $ABCD$ là tứ diện đều có cạnh bằng $a$$b.$ Hãy tính góc giữa $AB,CD$ biết $AB=CD=2a$ và $MN=a\sqrt{3} $

Lời giải

$a.$ Gọi $E$ là trung điểm của $AC$ ta có :
$EM//AB$ và $EM=\frac{a}{2} $
do đó $(AB,DM)=(MD,ME)$
Xét $\Delta DEM$ ta có :
$DM=DE=\frac{a\sqrt{3} }{2} $ trung tuyến trong tam giác đều
$cos\widehat{DME}=\frac{DM^2+EM^2-DE^2}{2DM.EM}=\frac{1}{2\sqrt{3} }   =\frac{\sqrt{3} }{6} $
Vậy ta được $cos(AB,DM)=\frac{\sqrt{3} }{6} $
$b.$ Gọi $O$ là trung điểm của $BD$ ta có :
$ON//AB$ và $ON=a$
$OM//CD$ và $OM=a$
do đó $(AB,CD)=(OM,ON)$
Gọi $I$ là trung điểm $MN$ trong $\Delta  IME$ vuông tại $I$ ta có :
$sin\widehat{MOI}=\frac{IM}{OM}  =\frac{\sqrt{3} }{2}\Rightarrow  \widehat{MOI}=60^0  $
$\Rightarrow  \widehat{MON}=2\widehat{MON}=120^0\Rightarrow  (OM,ON)=180^0-120^0=60^0  $
Vậy ta được $(AB,CD)=60^0$