Đề bài: Trong mặt phẳng $\alpha$ cho góc vuông $xOy,d$ là đường thẳng cố định trong $\alpha,d$ cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$.Gọi $Oz$ là tia vuông góc với $\alpha,S$ là một điểm trên $Oz$.Gọi $AE,BF$ là đường cao của $\Delta SAB$$a.$ Cho góc $xOy$ cố định,$S$ di động trên tia $Oz$.Tìm tập hợp các điểm $E,F$$b.$ Cho $d$ cố định, góc $xOy$ xoay quanh $O$.Chứng minh rằng trực tâm của $\Delta SAB$ cố định.Tìm tập hợp các điểm $E,F$

Lời giải

$a.$ Ta lần lượt tìm tập hợp các điểm $E,F$
– Tìm tập hợp các điểm $E:$ Nhận thấy đường thẳng $SB$ nằm trong mặt phẳng $yOz$ cố định và đi qua điểm $B$ cố định.
Ta có :
$\begin{cases}AO\bot BO\\AO\bot SO \end{cases} \Rightarrow  AO\bot (xOz)$
$\Rightarrow  OE\bot SB$ theo định lí ba đường vuông góc $\Rightarrow  \widehat{OEB}=90^0 $
$\Rightarrow  E$ thuộc đường tròn đường kính $OB$ chứa trong $(yOz)$
Khi $S$ di động trên tia $Oz$ thì $E$ thuộc nửa đường tròn đường kính $OB$ trong nửa mặt phẳng $(yOz)$ bờ $Oy$
– Tìm tập hợp điểm $F:$ Thực hiện tương tự ta được $F$ thuộc nửa đường tròn đường kính $OA$ trong nửa mặt phẳng $(xOz)$ bờ $Ox$
$b.$ Giả sử $AE\cap BF=H$ suy ra $H$ là trực tâm của $\Delta SAB$ và ta đi chứng minh $H$ cố định.Kéo dài $SH$ cắt $AB$ tại $K$ ta có
$\begin{cases} AB\bot SK\\AB\bot SO\end{cases} \Leftrightarrow  AB\bot (SOK)\Rightarrow  AB\bot OK\Rightarrow  K$ cố định $\Rightarrow  H$ cố định
Trong mặt phẳng $(S,d)$ cố định và có $SH$ cố định và :
Vì $\widehat{SEH}=90^0 $ nên $E$ thuộc nửa đường tròn đường kính $SH$ trong nửa mặt phẳng $(SBK)$ bờ $SK$
Vì $\widehat{SFH}=90^0 $ nên $F$ thuộc nửa đường tròn đường kính $SH$ trong nửa mặt phẳng $(SAK)$ bờ $SK$