Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, tâm $O$.Gọi $M,N$ lần lượt là  trung điểm của các cạnh $SA,BC$.Biết rằng góc giữa $MN$ và $(ABCD)$ bằng $60^0$$a.$ Tính $MN,SO$$b.$ Tính góc giữa $MN$ và mặt phẳng $(SBD)$

Lời giải

$a.$ Gọi $H$ là trung điểm của $OA$ suy ra:
$MH//SO\Rightarrow  MH\bot (ABCD)$
suy ra $NH$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ trên $ABCD$ do đó
$(MN,(ABCD))=\widehat{MNH}=60^0$
Trong $\Delta HNC$ ta có:
$NH^2=CN^2+CH^2-2CN.CHcos\widehat{NCH} $
$=(\frac{a}{2} )^2+(\frac{3a\sqrt{2} }{4} )^2-2.\frac{a}{2}.\frac{3a\sqrt{2} }{4}  .cos45^0=\frac{10a^2}{16} $
$\Rightarrow  NH=\frac{a\sqrt{10} }{4} $
Trong $\Delta HMN$ vuông tại $H$ ta có:
$MN=\frac{NH}{cos\widehat{MNH} } =\frac{\frac{a\sqrt{10} }{4} }{cos60^0} =\frac{a\sqrt{10} }{2} $
$MH=NH.tan\widehat{MNH}=\frac{a\sqrt{10} }{4} .tan60^0=\frac{a\sqrt{10} }{4}  $
Trong $\Delta OSA$ ta có $MH$ là đường trung bình nên :
$SO=2MH=\frac{a\sqrt{30} }{2} $
$b.$ Giả sử :
$AN\cap BD=K\Rightarrow  (SAN)\cap (SBD)=SK$
giả sử :
$MN\cap SK=J\Rightarrow  MN\cap (SBD)=J$
Gọi $I$ là trung điểm của $OB$ ta có:
$NI//OC\Rightarrow   \begin{cases} NI\bot BD\\NI\bot SO\end{cases} \Rightarrow  NI\bot (SBD)$
suy ra $IJ$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ trên $(SBD)$ do đó
$(MN,(SBD))=\widehat{NIJ} $
Trong $\Delta OBC$ có $NI$ là đường trung bình nên :
$NI=\frac{1}{2} OC=\frac{a\sqrt{2} }{4} $
Trong $\Delta ABC$ có trung tuyến $AN,BO$ nên $K$ là trọng tâm suy ra :
$\frac{KA}{KN}=2 $
Dựa vào hình theo định lí mêlêlaus ta có :
$\frac{KA}{KN}.\frac{JN}{JM}.\frac{SM}{SA}=1\Leftrightarrow  2.\frac{JN}{JM}.\frac{1}{2} =1 
  $
$\Leftrightarrow  \frac{JN}{JM}=1\Leftrightarrow  JN=\frac{1}{2}MN=\frac{a\sqrt{10} }{4}   $
Trong $\Delta NIJ$ vuông tại $I $ ta có :
$sin\widehat{ABC} NIJ=\frac{NI}{JN}=\frac{\sqrt{5} }{5}  $
Vậy ta được $sin(MN,(SBD))=\frac{\sqrt{5} }{5} $