Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$.Gọi $M,N$ là các điểm lần lượt thuộc $AB$ và $CD$ sao cho $\overrightarrow {MA}=-2.\overrightarrow {MB},\overrightarrow {ND}=-2.\overrightarrow {NC}$.Các điểm $I,J,K$ lần lượt thuộc $AD,MN,BC$ sao cho $\overrightarrow {IA}=k.\overrightarrow {ID},\overrightarrow {JM}=k.\overrightarrow {JN},\overrightarrow {KB}=k.\overrightarrow {KC}$.Chứng minh rằng các điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

Lời giải

Ta lần lượt có:
*Với vectơ $\overrightarrow {IJ}$,ta có biểu diễn:
$\overrightarrow {IJ}=\overrightarrow {IA}+\overrightarrow {AM}+\overrightarrow {MJ}$ (1)
$\overrightarrow {IJ}=\overrightarrow {ID}+\overrightarrow {DN}+\overrightarrow {NJ}$
$\Leftrightarrow k\overrightarrow {IJ}=k\overrightarrow {ID}+k\overrightarrow {DN}+k\overrightarrow {NJ}$
$=\overrightarrow {IA}+k\overrightarrow {DN}+\overrightarrow {MJ}$ (2)
Trừ theo vế (1) cho (2),ta được:
$(1-k)\overrightarrow {IJ}=\overrightarrow {AM}-k\overrightarrow {DN}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {IJ}=\frac{1}{1-k}\overrightarrow {AM}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow {DN}=\frac{2}{1-k}\overrightarrow {MB}-\frac{2k}{1-k}\overrightarrow {NC}$ (3)
*Với vectơ $\overrightarrow {JK}$,bằng cách chứng minh tương tự ta cũng có:
$\overrightarrow {JK}=\frac{1}{1-k}\overrightarrow {MB}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow {NC}=\frac{2}{1-k}\overrightarrow {MB}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow {NC}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra:
$\overrightarrow {IJ}=2.\overrightarrow {JK} \Leftrightarrow I,J,K$ thẳng hàng.