Đề bài: Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\)$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với $m = 0$$2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng $1$.
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải.
$2$. \(f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + mx + m \)
\(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + m \Rightarrow f’\left( x \right)\) có \(\Delta ‘ = 9 – 3m\)
– Nếu \(\Delta ‘ \le 0\) thì \(f’\left( x \right) \ge 0,\forall x \Rightarrow\) Hàm số luôn đồng biến
– Nếu \(\Delta ‘ > 0\) thì \(f’\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} Nên \(f’\left( x \right)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn
\( \Leftrightarrow {x_2} – {x_1} = 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{{ – 3 + \sqrt {\Delta ‘} }}{3} – \frac{{ – 3 – \sqrt {\Delta ‘} }}{3} = 1 \Leftrightarrow 2\sqrt {\Delta ‘} = 3 \)
\(\Leftrightarrow 4\left( {9 – 3m} \right) = 9 \Leftrightarrow 12m = 27\)
\( \Leftrightarrow m = \frac{9}{4}\)
Trả lời