Xét hàm số $ y=f\left( x \right)$ lên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và thỏa điều kiện $2f\left( x \right)+3f\left( 1-x \right)=x\sqrt{1-x}.$ Tính tích phân $I=\displaystyle\int_0^1{f\left( x \right)\textrm{ d}x}$

Lời Giải:

Xét $I=\displaystyle\int_0^1{f\left( x \right)\textrm{ d}x}$. Đặt $ x=1-t$ ta được $\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$ và $ \textrm{ d}x=-\textrm{ d}t.$

Vậy $I=-\displaystyle\int_1^0{f\left( 1-t \right)}\textrm{ d}t=\displaystyle\int_0^1{f\left( 1-t \right)}\textrm{ d}t$

Theo đề bài $2f\left( x \right)+3f\left( 1-x \right)=x\sqrt{1-x}\Rightarrow \displaystyle\int_0^1{\left[ 2f\left( x \right)+3f\left( 1-x \right) \right]}\textrm{ d}x=\displaystyle\int_0^1{x\sqrt{1-x}\textrm{ d}x}$

Vậy $5\displaystyle\int_0^1{f\left( x \right)\textrm{ d}x=\displaystyle\int_0^1{x}}\sqrt{1-x}\textrm{ d}x=\dfrac{4}{15}\Rightarrow I=\dfrac{4}{75}$