Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1],$ thỏa $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$. Giá trị của tích phân $\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)\mathrm{\,d}x$ bằng

Lời Giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)\mathrm{\,d}x=f(x)\bigg|_0^1 =f(1)-f(0)$.
Từ $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}\rightarrow \left\{\begin{matrix}
2f(0)+3f(1)=1 & \\
2f(1)+3f(0)=0 &
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(0)=-\dfrac{2}{5} &\\f(1)=\dfrac{3}{5}&\end{matrix}\right.$
Vậy $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)\mathrm{\,d}x=f(1)-f(0)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}=1$.