Đề bài:
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1],$ thỏa $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$. Giá trị của tích phân $\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
A. $0$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $1$
D. $\dfrac{3}{2}$
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1],$ thỏa $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$. Giá trị của tích phân $\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
A. $0$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $1$
D. $\dfrac{3}{2}$
Lời Giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)\mathrm{\,d}x=f(x)\bigg|_0^1 =f(1)-f(0)$.
Từ $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}\rightarrow \left\{\begin{matrix}
2f(0)+3f(1)=1 & \\
2f(1)+3f(0)=0 &
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(0)=-\dfrac{2}{5} &\\f(1)=\dfrac{3}{5}&\end{matrix}\right.$
Vậy $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)\mathrm{\,d}x=f(1)-f(0)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}=1$.
Bài học cùng chương bài
- Câu 48: (MH Toan 2020) Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $xf\left( {{x}^{3}} \right)+f\left( 1-{{x}^{2}} \right)=-{{x}^{10}}+{{x}^{6}}-2x$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Khi đó $\displaystyle\int^0_{-1}f(x)\mathrm{d}x$ bằng
- Câu 38: (MH Toan 2020) Cho hàm số \(f(x)\) có \(f(3) = 3\) và \(f\prime (x) = \frac{x}{{x + 1 – \sqrt {x + 1} }}\), \(\forall x > 0\). Khi đó \(\int\limits_3^8 f (x){\rm{d}}x\) bằng
- Xét hàm số $ y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ và thỏa $ f\left( x \right)=\sqrt{2+x}+x.f\left( 3-x^2 \right)$. Tính $I=\displaystyle\int_{-1}^2{f\left( x \right)\textrm{ d}x}$.
- Xét hàm số $ y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ và thỏa $ f\left( x \right)+7f\left( 2-x \right)=2x$. Tính $I=\displaystyle\int_0^2{f\left( x \right)\textrm{ d}x}$.
- Cho hàm số $ y=f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa điều kiên $ f\left( x^3+3x+1 \right)=3x+2,\forall x\in \mathbb{R}.$ Tính tích phân $I=\displaystyle\int_1^5{x.f’\left( x \right)\textrm{ d}x}$
- Xét hàm số $ y=f\left( x \right)$ lên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và thỏa điều kiện $2f\left( x \right)+3f\left( 1-x \right)=x\sqrt{1-x}.$ Tính tích phân $I=\displaystyle\int_0^1{f\left( x \right)\textrm{ d}x}$
- Cho $ y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa $ f\left( x \right)+2f\left( \dfrac{1}{x} \right)=3x$. Tính $I=\displaystyle\int_{\tfrac{1}{2}}^2{\dfrac{f\left( x \right)}{x}\textrm{ d}x}.$
- Cho hàm số $ y=f\left( x \right)$ có đạo hàm và liên tục trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$, thỏa $ f\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R};$ và $ f’\left( x \right)+2f\left( x \right)=0$. Biết $ f\left( 1 \right)=1.$ Tính $ f\left( -1 \right).$
- Giả sử $ y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $\mathbb{R}$, thỏa $ f\left( 0 \right)=\dfrac{1}{2}$ và $ f’\left( x \right)+e^x.f^2\left( x \right)=0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$. Tính giá trị $ f\left( \ln 2 \right)$
- Giả sử $ y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ và thỏa $ f\left( 1 \right)=1$, $ f\left( x \right)-f’\left( x \right)\sqrt{3x+1}=0$, với mọi $ x>0.$
Trả lời