Xét hàm số $ y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ và thỏa $ f\left( x \right)+7f\left( 2-x \right)=2x$. Tính $I=\displaystyle\int_0^2{f\left( x \right)\textrm{ d}x}$.

Lời Giải:

Xét tích phân $I=\displaystyle\int_0^2{f\left( x \right)\textrm{ d}x}$. Đặt $ x=2-t$ suy ra $ \textrm{ d}x=-\textrm{ d}t$ và $\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right.$

Do đó $I=\displaystyle\int_0^2{f\left( x \right)\textrm{ d}x}=\displaystyle\int_0^2{f\left( 2-t \right)\textrm{ d}t}=\displaystyle\int_0^2{f\left( 2-x \right)\textrm{ d}x}$

Nên $\displaystyle\int_0^2{f\left( x \right)\textrm{ d}x}+7\displaystyle\int_0^2{f\left( 2-x \right)\textrm{ d}x}=8I=\displaystyle\int_0^2{2x\textrm{ d}x}=4$

Vậy $I=\dfrac{1}{2}.$