![Xét hàm số $ y=fleft( x right)$ liên tục trên đoạn $left[ 0;2 right]$ và thỏa $ fleft( x right)+7fleft( 2-x right)=2x$. Tính $I=displaystyleint_0^2{fleft( x right)textrm{ d}x}$. 1](https://booktoan.com/wp-content/uploads/2019/06/tn-tich-phan.png "Xét hàm số $ y=fleft( x right)$ liên tục trên đoạn $left[ 0;2 right]$ và thỏa $ fleft( x right)+7fleft( 2-x right)=2x$. Tính $I=displaystyleint_0^2{fleft( x right)textrm{ d}x}$. 1")
Xét hàm số $ y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ và thỏa $ f\left( x \right)+7f\left( 2-x \right)=2x$. Tính $I=\displaystyle\int_0^2{f\left( x \right)\textrm{ d}x}$.
A. $I=-4.$
B. $I=2.$
C. $I=\dfrac{1}{2}.$
D. $I=\dfrac{4}{3}.$
![Xét hàm số $ y=fleft( x right)$ liên tục trên đoạn $left[ 0;2 right]$ và thỏa $ fleft( x right)+7fleft( 2-x right)=2x$. Tính $I=displaystyleint_0^2{fleft( x right)textrm{ d}x}$. 2](https://booktoan.com/wp-content/uploads/2020/02/tich-phan-ham-an-chua-f-f-113756000.jpg "Xét hàm số $ y=fleft( x right)$ liên tục trên đoạn $left[ 0;2 right]$ và thỏa $ fleft( x right)+7fleft( 2-x right)=2x$. Tính $I=displaystyleint_0^2{fleft( x right)textrm{ d}x}$. 2")
Lời Giải:
Xét tích phân $I=\displaystyle\int_0^2{f\left( x \right)\textrm{ d}x}$. Đặt $ x=2-t$ suy ra $ \textrm{ d}x=-\textrm{ d}t$ và $\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $I=\displaystyle\int_0^2{f\left( x \right)\textrm{ d}x}=\displaystyle\int_0^2{f\left( 2-t \right)\textrm{ d}t}=\displaystyle\int_0^2{f\left( 2-x \right)\textrm{ d}x}$
Nên $\displaystyle\int_0^2{f\left( x \right)\textrm{ d}x}+7\displaystyle\int_0^2{f\left( 2-x \right)\textrm{ d}x}=8I=\displaystyle\int_0^2{2x\textrm{ d}x}=4$
Vậy $I=\dfrac{1}{2}.$
Trả lời