Xét hàm số $ y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ và thỏa $ f\left( x \right)=\sqrt{2+x}+x.f\left( 3-x^2 \right)$. Tính $I=\displaystyle\int_{-1}^2{f\left( x \right)\textrm{ d}x}$.

Lời Giải:

Xét tích phân $J=\displaystyle\int_{-1}^2{tf\left( 3-t^2 \right)\textrm{ d}t}$ . Đặt $ x=3-t^2$ suy ra $ \textrm{ d}x=-2t.\textrm{ d}t$

Và $\left\{ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$

Do đó $J=\displaystyle\int_{-1}^2{tf\left( 3-t^2 \right)\textrm{ d}t}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^2{f\left( x \right)\textrm{ d}x}=\dfrac{I}{2}$

Nên từ $ f\left( x \right)=\sqrt{2+x}+x.f\left( 3-x^2 \right)$ ta có $\displaystyle\int_{-1}^2{\left[ f\left( x \right)-x.f\left( 3-x^2 \right) \right]}\textrm{ d}x=\displaystyle\int_{-1}^2{\sqrt{2+x}\textrm{ d}x}$\\
Suy ra $\dfrac{I}{2}=\displaystyle\int_{-1}^2{\sqrt{2+x}}\textrm{ d}x=\dfrac{14}{3}$.

Vậy $I=\dfrac{28}{3}$