Câu 38: (MH Toan 2020) Cho hàm số \(f(x)\) có \(f(3) = 3\) và \(f\prime (x) = \frac{x}{{x + 1 – \sqrt {x + 1} }}\), \(\forall x > 0\). Khi đó \(\int\limits_3^8 f (x){\rm{d}}x\) bằng

Câu 38: (MH Toan 2020) Cho hàm số \(f(x)\) có \(f(3) = 3\) và \(f\prime (x) = \frac{x}{{x + 1 – \sqrt {x + 1} }}\), \(\forall x > 0\). Khi đó \(\int\limits_3^8 f (x){\rm{d}}x\) bằng
A. \(7\).
B. \(\frac{{197}}{6}\).
C. \(\frac{{29}}{2}\).
D. \(\frac{{181}}{6}\).

LỜI GIẢI

Đáp án: B
Ta có: \(f(x) = \int f \prime (x){\rm{d}}x = \int {\frac{x}{{x + 1 – \sqrt {x + 1} }}} {\rm{d}}x\)
Đặt \(\sqrt {x + 1} = t\)
\( \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2t{\rm{d}}t = {\rm{d}}x\)
\( \Rightarrow \int {\frac{x}{{x + 1 – \sqrt {x + 1} }}} {\rm{d}}x = \int {\frac{{2t({t^2} – 1)}}{{{t^2} – t}}} {\rm{d}}t\)\( = \int {\frac{{2t(t – 1)(t + 1)}}{{t(t – 1)}}} {\rm{d}}t = \int 2 (t + 1){\rm{d}}t = {t^2} + 2t + C\)
\( = x + 1 + 2\sqrt {x + 1} + C\)
\( \Rightarrow f(x) = x + 1 + 2\sqrt {x + 1} + C\)
Ta có \(f(3) = 8 + C = 3 \Rightarrow C = – 5\)
\( \Rightarrow f(x) = x + 1 + 2\sqrt {x + 1} – 5\)
Ta có \[\int\limits_3^8 f (x){\rm{d}}x = \int\limits_3^8 {\left( {x + 1 + 2\sqrt {x + 1} – 5} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + \frac{4}{3}\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} – 5x} \right)} \right|_0^8 = \frac{{197}}{6}\]