Cho $ y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa $ f\left( x \right)+2f\left( \dfrac{1}{x} \right)=3x$. Tính $I=\displaystyle\int_{\tfrac{1}{2}}^2{\dfrac{f\left( x \right)}{x}\textrm{ d}x}.$

Lời Giải:

Từ $ f\left( x \right)+2f\left( \dfrac{1}{x} \right)=3x$. Ta đặt $ t=\dfrac{1}{x}$ được $ f\left( \dfrac{1}{t} \right)+2f\left( t \right)=\dfrac{3}{t}$

Do đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)+2f\left( \dfrac{1}{x} \right)=3x \\
& 2f\left( x \right)+f\left( \dfrac{1}{x} \right)=\dfrac{3}{x} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 3f\left( x \right)=\dfrac{6}{x}-3x\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{2}{x}-x$

Vậy $I=\displaystyle\int_{\tfrac{1}{2}}^2{\dfrac{f\left( x \right)}{x}\textrm{ d}x}=\displaystyle\int_{\tfrac{1}{2}}^2{\left( \dfrac{2}{x^2}-1 \right)}\textrm{ d}x=\dfrac{3}{2}.$