Đề: Cho tam giác ABC với \(A\left( {1;2; – 1} \right),B\left( {2; – 1;3} \right),C\left( { – 4;7;5} \right).\) Độ dài phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B là:

Gọi K là chân đường phân giác hạ từ B xuống cạnh AC. Ta có: \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{K{\rm{A}}}}{{KC}}.\)

\(\overrightarrow {K{\rm{A}}}  = \frac{{ – BA}}{{BC}}\overrightarrow {KC}  \Rightarrow \overrightarrow {K{\rm{A}}}  = \frac{{ – \sqrt {26} }}{{2\sqrt {26} }}\overrightarrow {KC}  \Rightarrow 2\overrightarrow {K{\rm{A}}}  =  – \overrightarrow {KC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 – {x_K}} \right) = {x_K} + 4\\2\left( {2 – {y_K}} \right) = {y_K} – 7\\2\left( { – 1 – {z_K}} \right) = {z_K} – 5\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {\frac{{ – 2}}{3};\frac{{11}}{3};1} \right).\)

Do đó: \(BK = \frac{{2\sqrt {74} }}{3}.\)