Đề: Cho hình chóp S.ABC có \(SC = 2a,SC \bot \left( {ABC} \right)\). Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và có \(AB = a\sqrt 2 \). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua C và vuông góc với SA, cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp S.CDE.

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AB}\\{AB \bot SC}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot CE\)

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CE \bot AB}\\{CE \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow CE \bot \left( {SAB} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(S{C^2} = SE.SB \Rightarrow \frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{S{C^2}}}{{S{B^2}}}\), tương tự \(\frac{{SD}}{{SE}} = \frac{{S{C^2}}}{{S{A^2}}}\)

Lại cả \(CA = AC\sqrt 2  = 2a;{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SC.{S_{ABC}} = \frac{2}{3}{a^3}\)

Khi đó \(\frac{{{V_{S.CDE}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SE}}{{SB}}\frac{{SD}}{{SA}} = \frac{{S{C^2}}}{{S{B^2}}}.\frac{{S{C^2}}}{{S{A^2}}} = \frac{4}{6}\frac{4}{8} = \frac{1}{3}\)

Do đó \({V_{S.CDE}} = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}{a^3} = \frac{{2{a^3}}}{9}\).