Đề: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \(y = \frac{{m + 2}}{3}{x^3} – \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {m – 2} \right)x + 1\) đơn điệu trên \(\mathbb{R}?\)

Ta có \(y’ = {\left( {\frac{{m + 2}}{3}{x^3} – \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {m – 2} \right)x + 1} \right)^\prime } = \left( {m + 2} \right){x^2} – 2\left( {m + 2} \right)x + m – 2\)

Vì \(m > 0 \Rightarrow m + 2 > 0 \Rightarrow \)Hàm số đơn điệu trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta ‘\left( {y’} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} – \left( {m + 2} \right)\left( {m – 2} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 – {m^2} + 4 \le 0 \Leftrightarrow m \le  – 2 \Rightarrow m \in \emptyset \)

Suy ra không có giá trị nguyên dương của m để hàm số đơn điệu trên \(\mathbb{R}.\)