84. Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f({{\cos }^2}} x){\rm{d}}x = 1\), \(\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f({{\ln }^2}x)}}{{x\ln x}}} {\rm{d}}x = 1\). Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f(2x)}}{x}} {\rm{d}}x\).

Câu hỏi:

84. Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f({{\cos }^2}} x){\rm{d}}x = 1\), \(\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f({{\ln }^2}x)}}{{x\ln x}}} {\rm{d}}x = 1\). Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f(2x)}}{x}} {\rm{d}}x\).

A. \(I = 1\).

B. \(I = 2\).

C. \(I = 3\).

D. \(I = 4\).

Lời giải

● Xét \(A = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f({{\cos }^2}} x){\rm{d}}x = 1\).

Đặt

\(t = {\cos ^2}x\)\( \Rightarrow \)\({\rm{d}}t =  – 2\sin x\cos x{\rm{d}}x =  – 2{\cos ^2}x\tan x{\rm{d}}x =  – 2t.\tan x{\rm{d}}x \Rightarrow \tan x{\rm{d}}x =  – \frac{{{\rm{d}}t}}{{2t}}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) .

Khi đó \(1 = A =  – \frac{1}{2}\int\limits_1^{\frac{1}{2}} {\frac{{f(t)}}{t}} {\rm{d}}t = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{f(t)}}{t}} {\rm{d}}t = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{f(x)}}{x}} {\rm{d}}x \Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{f(x)}}{x}} {\rm{d}}x = 2\).

● Xét \(B = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f({{\ln }^2}x)}}{{x\ln x}}} {\rm{d}}x = 1\).

Đặt \(u = {\ln ^2}x\)\( \Rightarrow {\rm{d}}u = \frac{{2\ln x}}{x}{\rm{d}}x = \frac{{2{{\ln }^2}x}}{{x\ln x}}{\rm{d}}x = \frac{{2u}}{{x\ln x}}{\rm{d}}x \Rightarrow \frac{{{\rm{d}}x}}{{x\ln x}} = \frac{{{\rm{d}}u}}{{2u}}.\)

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = {\rm{e}} \Rightarrow u = 1\\x = {{\rm{e}}^2} \Rightarrow u = 4\end{array} \right.\).

Khi đó \(1 = B = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {\frac{{f(u)}}{u}} {\rm{d}}u = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {\frac{{f(x)}}{x}} {\rm{d}}x \Rightarrow \int\limits_1^4 {\frac{{f(x)}}{x}} {\rm{d}}x = 2\).

● Xét \(I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f(2x)}}{x}} {\rm{d}}x\).

Đặt \(v = 2x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}x = \frac{1}{2}{\rm{d}}v\\x = \frac{v}{2}\end{array} \right.\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4} \Rightarrow v = \frac{1}{2}\\x = 2 \Rightarrow v = 4\end{array} \right.\).

Khi đó\(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^4 {\frac{{f(v)}}{v}} {\rm{d}}v = \int\limits_{\frac{1}{2}}^4 {\frac{{f(x)}}{x}} {\rm{d}}x = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{f(x)}}{x}} {\rm{d}}x + \int\limits_1^4 {\frac{{f(x)}}{x}} {\rm{d}}x = 2 + 2 = 4\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân