Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}}\), \({d_2}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{1} = \frac{{z – 4}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – y + z – 6 = 0\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt \({d_1},\,{d_2}\) lần lượt tại \(A,\,B\) sao cho \(AB = 3\sqrt 6 \). Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}}\), \({d_2}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{1} = \frac{{z – 4}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – y + z – 6 = 0\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt \({d_1},\,{d_2}\) lần lượt tại \(A,\,B\) sao cho \(AB = 3\sqrt 6 \). Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là

A. \(\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z – 4}}{2}\).
B. \(\frac{{x – 5}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 2}}\).
C. \(\frac{{x – 6}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 4}}{1}\).
D. \(\frac{{x – 4}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{z}{2}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(A\left( {1 + 2a;\, – 2 + a;\,2 – 2a} \right)\) (do \(A \in {d_1}\)); \(B\left( {2 – b;\,3 + b;\,4 + b} \right)\) (do \(B \in {d_2}\))
Suy ra\(\overrightarrow {BA} = \left( {2a + b – 1;\,a – b – 5;\, – 2a – b – 2} \right)\).
Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;\, – 1;\,1} \right)\).
Do \(AB//\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 0\)\( \Rightarrow 2a + b – 1 – a + b + 5 – 2a – b – 2 = 0\)
\( \Rightarrow – a + b + 2 = 0 \Rightarrow b = a – 2\).
Ta có: \(AB = 3\sqrt 6 \Rightarrow {\left( {2a + b – 1} \right)^2} + {\left( {a – b – 5} \right)^2} + {\left( { – 2a – b – 2} \right)^2} = 54\)
\( \Rightarrow {\left( {3a – 3} \right)^2} + 9 + {\left( { – 3a} \right)^2} = 54\)\( \Rightarrow 18{a^2} – 18a – 36 = 0\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = – 1\\a = 2\end{array} \right.\)
TH1: Nếu \(a = – 1\) thì \(A\left( { – 1;\, – 3;\,4} \right)\) (loại) do \(A \in \left( P \right)\)
TH2: Nếu \(a = 2\) thì \(A\left( {5;\,0;\, – 2} \right)\), \(B\left( {2;\,3;\,4} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 3;\,3;\,6} \right)\).
Chọn véctơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( { – 1;\,1;\,2} \right)\). Vậy đáp án là
D.