Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;4;5} \right)\) và điểm \(B\left( {5;12;0} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc trục Oz sao cho \(MN = 2\) và có \({z_M} > {z_N}\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;4;5} \right)\) và điểm \(B\left( {5;12;0} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc trục Oz sao cho \(MN = 2\) và có \({z_M} > {z_N}\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng

A. \(18\).

B. \(3\sqrt {37} \).

C. \(\sqrt {93} \).

D. \(\sqrt {219} \).

Lời giải

Dựng \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {MN} = – 2\overrightarrow k \), với \(k = \left( {0;0;1} \right)\) là vectơ đơn vị trên Oz. Ta có \(C\left( {3;4;3} \right)\)

Gọi \(N\left( {0;0;z} \right)\) thuộc trục Oz.

Ta có: \(AM + BN = CN + BN = \sqrt {{{\left( {3 – z} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{z^2} + {{13}^2}} \ge \sqrt {{{\left( {3 – z + z} \right)}^2} + {{\left( {5 + 13} \right)}^2}} = 3\sqrt {37} \)

Dấu bằng xảy ra khi \(\overrightarrow u \left( {3 – z;5} \right)\) và \(\overrightarrow v \left( {z,13} \right)\) cùng hướng \(z = \frac{{13}}{6}\)

Vậy \(Min\left( {AM + BN} \right) = 3\sqrt {37} \)

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Hình học OXYZ