Câu hỏi:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { – 3; – 2;5} \right)\) và điểm \(B\left( {1;2; – 3} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng
A. \(8\).
B. \(4\sqrt 6 \).
C. \(2\sqrt {23} \).
D. \(2\sqrt {25 – 4\sqrt 2 } \).
Lời giải
Dựng \(\overrightarrow {BB’} = \overrightarrow {NM} \). Khi đó \(B’\) thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(B\) và song song \(\left( {Oxy} \right)\).
Phương trình \(\left( Q \right):z = – 3\). Và \(BB’ = 2\).
Suy ra \(B’\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(B\), bán kính \(R = 2\) trong \(\left( Q \right)\).
Ta có: \(AM + BN = AM + MB’ \ge AB’.\) Trong đó \(A;B’\) khác phía so với \(\left( {Oxy} \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( Q \right)\). Suy ra \(H\left( { – 3; – 2; – 3} \right)\).
Ta có \(HB = 4\sqrt 2 > 2\), nên H ở ngoài đường tròn \(\left( C \right)\), gọi T là giao điểm của đoạn BH với \(\left( C \right)\) thì ta có: \(AB’ \ge AT\) và \(AT = \sqrt {A{H^2} + H{T^2}} = \sqrt {{8^2} + {{\left( {4\sqrt 2 – 2} \right)}^2}} = 2\sqrt {25 – 4\sqrt 2 } \)
Dấu bằng xảy ra khi \(M\) là giao điểm của đoạn \(AT\) với \(\left( {Oxy} \right)\), \(B’ \equiv T\) và và \(\overrightarrow {BT} = \overrightarrow {NM} \).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ
Trả lời