Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;2;4),B(0;0;1)\) và mặt cầu \((S):{(x + 1)^2} + {(y – 1)^2} + {z^2} = 4\). Mặt phẳng \((P):ax + by + cz + 3 = 0\) đi qua \(A,B\) và cắt mặt cầu \((S)\)theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T = a + b + c\).

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;2;4),B(0;0;1)\) và mặt cầu \((S):{(x + 1)^2} + {(y – 1)^2} + {z^2} = 4\). Mặt phẳng \((P):ax + by + cz + 3 = 0\) đi qua \(A,B\) và cắt mặt cầu \((S)\)theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T = a + b + c\).
A.\(T = \frac{{27}}{4}\).
B. \(T = \frac{{31}}{5}\).
C. \(T = – \frac{3}{4}\).
D. \(T = \frac{{33}}{5}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
 Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I( – 1;1;0)\)và bán kính \(R = 2\).
 Đường thẳng \(AB\)đi qua điểm \(B\), có một VTCP là \(\overrightarrow {BA} = (1;2;3) \Rightarrow AB:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.(t \in \mathbb{R})\).
\(\overrightarrow {IB} = (1;1;1) \Rightarrow IB = \sqrt 3 < \mathbb{R} \Rightarrow (P)\)luôn cắt mặt cầu \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). \((C)\) có bán kính nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d(I,(P))\)lớn nhất. Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \((P)\) và \(AB\), ta có: \(d(I,(P)) = IH \le IK\) Do đó\(d(I,(P))\) lớn nhất \( \Leftrightarrow H \equiv K\) hay mặt phẳng \((P)\) vuông góc với \(IK\) Tìm \(K:K \in AB \Rightarrow K(t;2t;1 + 3t) \Rightarrow \overrightarrow {IK} = (t + 1;2t - 1;1 + 3t)\) Ta có \(IK \bot AB \Leftrightarrow \overrightarrow {IK} .\overrightarrow {AB} = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{7} \Rightarrow \overrightarrow {IK} \left( {\frac{6}{7}; - \frac{9}{7};\frac{4}{7}} \right) = \frac{1}{7}(6; - 9;4).\) \(\) Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(B(0;0;1)\), có một VTPT là \(\overrightarrow n = (6; - 9;4)\). \( \Rightarrow (P):6x - 9y + 4z - 4 = 0 \Leftrightarrow - \frac{9}{2}x + \frac{{27}}{4}y - 3z + 3 = 0\). Vậy \(T = - \frac{3}{4}\). ======== I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)