Trong 200 gam dung dịch muối nồng độ 15%, giả sử thêm vào dung dịch $x$ (gam) muối tinh khiết và được dung dịch có nồng độ $f\left( x \right)%.$
a) Hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{100\left( x+30 \right)}{x+200}.$.
b) Đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị âm trên khoảng $(0 ; + \infty)$.
c) Thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì nồng độ phần trăm càng tăng và có thể vượt quá 100%.
d) Giới hạn của $f\left( x \right)$ khi $x$ dần đến dương vô cực bằng 100.
Lời giải:
a/ Trong $200$ gam dung dịch muối nồng độ $15%$ có $200\cdot\dfrac{15}{100}=30$ (gam) muối tinh khiết. Khi thêm $x$ (gam) muối tinh khiết vào $200$ gam dung dịch muối nồng độ $15%$ thì có $\left( x+30 \right)$ (gam) muối tinh khiết. Tổng khối lượng dung dịch là $\left( x+200 \right)$ (gam). Khi đó, ta có hàm số là $f\left( x \right)=\dfrac{100\left( x+30 \right)}{x+200}$.
b/ Ta có $f’\left( x \right)=\dfrac{17000}{{{\left( x+200 \right)}^{2}}}{>}0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right).$
c/ Vì $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ nên khi $x$ tăng thì $f\left( x \right)$ tăng. Nghĩa là khi thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì dung dịch có nồng độ phần trăm càng tăng.
Vì $x+30{
d/ Ta có:
$\lim\limits_{x\to +\infty }f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{100\left( x+30 \right)}{x+200}=100.$
(Đúng) Hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{100\left( x+30 \right)}{x+200}.$
(Vì): Trong $200$ gam dung dịch muối nồng độ $15%$ có $200\cdot\dfrac{15}{100}=30$ (gam) muối tinh khiết. Khi thêm $x$ (gam) muối tinh khiết vào $200$ gam dung dịch muối nồng độ $15%$ thì có $\left( x+30 \right)$ (gam) muối tinh khiết. Tổng khối lượng dung dịch là $\left( x+200 \right)$ (gam). Khi đó, ta có hàm số là $f\left( x \right)=\dfrac{100\left( x+30 \right)}{x+200}$.
(Sai) Đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị âm trên khoảng $(0 ; + \infty)$.
(Vì): Ta có $f’\left( x \right)=\dfrac{17000}{{{\left( x+200 \right)}^{2}}}{>}0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right).$
(Sai) Thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì nồng độ phần trăm càng tăng và có thể vượt quá 100%.
(Vì): Vì $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ nên khi $x$ tăng thì $f\left( x \right)$ tăng. Nghĩa là khi thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì dung dịch có nồng độ phần trăm càng tăng.
Vì $x+30{
(Đúng) Giới hạn của $f\left( x \right)$ khi $x$ dần đến dương vô cực bằng 100.
(Vì): Ta có:
$\lim\limits_{x\to +\infty }f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{100\left( x+30 \right)}{x+200}=100.$