(THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh – 2022) Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(b,c,d\) là các số thự

C. Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + 2f’\left( x \right) + 3f”\left( x \right)\) có hai giá trị cực trị là \( – 6\) và \(42\). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 18}}\) và \(y = 1\).

A. \(\ln 5\).

B. \(\ln 7\).

C. \(2\ln 6\).

D. \(2\ln 5\).

Lời giải:

Chọn A

Hàm \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba nên \(g\left( x \right)\) là hàm số bậc 3\( \Rightarrow g’\left( x \right)\) là hàm số bậc 2.

Ta có: \(f”’\left( x \right) = 6\)

\(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) + 2f”\left( x \right) + 18\) có hai nghiệm là \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và \(g\left( {{x_1}} \right) = 42,g\left( {{x_2}} \right) = – 6\)

Xét phương trình tìm cận của tích phân để tính diện tích: \(\frac{{f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 18}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{f’\left( x \right) + 2f”\left( x \right) + 18}}{{g\left( x \right) + 18}} = 0\)

\( \Rightarrow f’\left( x \right) + 2f”\left( x \right) + 18 = 0 \Leftrightarrow g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = {x_2}\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng \(S = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {\frac{{f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 18}} – 1} \right|{\rm{d}}x = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {\frac{{g’\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 18}}} \right|} } {\rm{d}}x = \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{g’\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 18}}} {\rm{d}}x} \right|\)

\( = \left| {\left. {\ln \left| {g\left( x \right) + 18} \right|} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| = \left| {\ln 12 – \ln 60} \right| = \ln 5\).