(Sở Lạng Sơn 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e\) và \(f’\left( x \right) + f\left( x \right) = x,\,\,x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f\left( 2 \right)\) bằng

A. \(\frac{2}{e}\).

B. \(1 – \frac{1}{e}\).

C. \(1 + \frac{1}{e}\).

D. \(2\).

Lời giải:

Chọn D

Ta có:

\(f’\left( x \right) + f\left( x \right) = x \Leftrightarrow f’\left( x \right).{e^x} + f\left( x \right).{e^x} = x{e^x} \Leftrightarrow {\left( {{e^x}.f\left( x \right)} \right)^\prime } = x{e^x}\).

Nên \(\int {{{\left( {{e^x}.f\left( x \right)} \right)}^\prime }{\rm{d}}x} = \int {x{e^x}{\rm{d}}x} \)\( \Leftrightarrow {e^x}.f\left( x \right) = x{e^x} – {e^x} + C\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{x{e^x} – {e^x} + C}}{{{e^x}}}\).

Do\(f\left( 1 \right) = e\)\( \Rightarrow f\left( 1 \right) = \frac{{{e^1} – {e^1} + C}}{{{e^1}}}\)\( \Rightarrow C = {e^2}\).

Suy ra \(f\left( x \right) = \frac{{x{e^x} – {e^x} + {e^2}}}{{{e^x}}}\)

\(f\left( 2 \right) = \frac{{2.{e^2} – {e^2} + {e^2}}}{{{e^2}}} = 2\).