(Sở Bắc Giang 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm xác định trên \((0; + \infty )\) và thỏa mãn \(x\left( {f\prime (x) + x} \right) = (x + 1)f(x);f(1) = e + 1\). Biết rằng \(\int_0^1 f (x)dx = \frac{a}{b};\) trong đó \(a,b\) là những số nguyên dương và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Khi đó giá trị của \((2a + b)\) tương ứng bằng:

A. 4.

B. 5.

C. \(8.\)

D. 7.

Lời giải:

Ta có: \(x\left( {f\prime (x) + x} \right) = (x + 1)f(x) \Leftrightarrow xf\prime (x) – xf(x) – f(x) = – {x^2}\)

Với \(x = 0\) ta có: \(f(0) = 0\) (1)

Với \(x \ne 0\)

Chia cả hai vế cho \({x^2}:\frac{{xf\prime (x) – f(x)}}{{{x^2}}} – \frac{{f(x)}}{x} = – 1 \Leftrightarrow \left[ {\frac{{f(x)}}{x}} \right]\prime – \frac{{f(x)}}{x} = – 1\)

Nhân hai vế với \({e^{ – x}}:{e^{ – x}}\left[ {\frac{{f(x)}}{x}} \right]\prime – {e^{ – x}}\frac{{f(x)}}{x} = – {e^{ – x}} \Leftrightarrow \left[ {\frac{{f(x)}}{x} \cdot {e^{ – x}}} \right]\prime = – {e^{ – x}}\)

Lấy nguyên hàm hai vế: \(\frac{{f(x)}}{x} \cdot {e^{ – x}} = {e^{ – x}} + C\)

Do \(f(1) = e + 1\) nên: \(\frac{{f(1)}}{1} \cdot {e^{ – 1}} = {e^{ – 1}} + C \Leftrightarrow C = 1\)

Vậy \(\frac{{f(x)}}{x} \cdot {e^{ – x}} = {e^{ – x}} + 1 \Leftrightarrow f(x) = x\left( {1 + {e^x}} \right)\)(2)

Từ \((1)\) và \((2)\) ta có \(f(x) = x\left( {1 + {e^x}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài

Khi đó: \(\int_0^1 x \left( {1 + {e^x}} \right)dx = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 + \int_0^1 x {e^x}dx = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 + \left. {\left( {x{e^x} – {e^x}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2}\).

Kết luận \((2a + b) = 2.3 + 2 = 8\).