Rút gọn biểu thức lượng giác $P = \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x}$

Bước 1: Nhóm các số hạng ở tử thức và mẫu thức theo từng cặp có tổng góc bằng nhau:

Tử số:

$$T = (\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x)$$

Mẫu số:

$$M = (\cos 4x + \cos x) + (\cos 3x + \cos 2x)$$

Bước 2: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:

Đối với tử số $T$:

$$\sin 4x + \sin x = 2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}$$
$$\sin 3x + \sin 2x = 2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}$$
$$\Rightarrow T = 2\sin \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)$$

Đối với mẫu số $M$:

$$\cos 4x + \cos x = 2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}$$
$$\cos 3x + \cos 2x = 2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}$$
$$\Rightarrow M = 2\cos \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)$$

Bước 3: Rút gọn biểu thức $P$:

$$P = \frac{T}{M} = \frac{2\sin \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)}{2\cos \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)} = \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\cos \frac{5x}{2}} = \tan \frac{5x}{2}$$

👉 Kết luận: Biểu thức sau khi rút gọn là $P = \tan \frac{5x}{2}$.