📌 Đề bài:
Rút gọn biểu thức lượng giác sau (với giả thiết biểu thức xác định):
$$P = \frac{\sin 7x – \sin 5x – \sin 3x + \sin x}{\cos 7x – \cos 5x – \cos 3x + \cos x}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải các bài toán rút gọn biểu thức lượng giác chứa nhiều góc đối xứng hoặc có tổng các số đo góc bằng nhau, ta áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích.
- $\sin a + \sin b = 2\sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$
- $\sin a – \sin b = 2\cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}$
- $\cos a + \cos b = 2\cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$
- $\cos a – \cos b = -2\sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}$
Chiến thuật nhóm: Ghép các cặp góc sao cho có cùng tổng hoặc hiệu, cụ thể ở bài này ghép $7x$ với $x$ (vì $7x+x=8x$) và ghép $5x$ với $3x$ (vì $5x+3x=8x$) để làm xuất hiện nhân tử chung $\sin 4x$ và $\cos 4x$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Nhóm các số hạng ở tử số và mẫu số một cách hợp lý
Ta nhóm các cặp hạng tử có tổng các cung bằng $8x$:
$$Tử = (\sin 7x + \sin x) – (\sin 5x + \sin 3x)$$
$$Mẫu = (\cos 7x + \cos x) – (\cos 5x + \cos 3x)$$
Bước 2: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Đối với tử số:
$$\sin 7x + \sin x = 2\sin \frac{7x+x}{2}\cos \frac{7x-x}{2} = 2\sin 4x \cos 3x$$
$$\sin 5x + \sin 3x = 2\sin \frac{5x+3x}{2}\cos \frac{5x-3x}{2} = 2\sin 4x \cos x$$
Do đó:
$$Tử = 2\sin 4x \cos 3x – 2\sin 4x \cos x = 2\sin 4x (\cos 3x – \cos x)$$
Đối với mẫu số:
$$\cos 7x + \cos x = 2\cos \frac{7x+x}{2}\cos \frac{7x-x}{2} = 2\cos 4x \cos 3x$$
$$\cos 5x + \cos 3x = 2\cos \frac{5x+3x}{2}\cos \frac{5x-3x}{2} = 2\cos 4x \cos x$$
Do đó:
$$Mẫu = 2\cos 4x \cos 3x – 2\cos 4x \cos x = 2\cos 4x (\cos 3x – \cos x)$$
Bước 3: Rút gọn biểu thức
Thay tử số và mẫu số vào biểu thức ban đầu:
$$P = \frac{2\sin 4x (\cos 3x – \cos x)}{2\cos 4x (\cos 3x – \cos x)} = \frac{\sin 4x}{\cos 4x} = \tan 4x$$
👉 Kết luận / Đáp án: $P = \tan 4x$
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức $A = \frac{\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x}{\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Nhóm đôi một: $Tử = (\sin 7x + \sin x) + (\sin 5x + \sin 3x) = 2\sin 4x\cos 3x + 2\sin 4x\cos x = 2\sin 4x(\cos 3x + \cos x)$.
$Mẫu = (\cos 7x + \cos x) + (\cos 5x + \cos 3x) = 2\cos 4x\cos 3x + 2\cos 4x\cos x = 2\cos 4x(\cos 3x + \cos x)$.
Suy ra $A = \frac{2\sin 4x(\cos 3x + \cos x)}{2\cos 4x(\cos 3x + \cos x)} = \tan 4x$.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức $B = \frac{\cos x – \cos 3x + \cos 5x – \cos 7x}{\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Biến đổi tử số: $Tử = (\cos x – \cos 7x) – (\cos 3x – \cos 5x) = 2\sin 4x\sin 3x – 2\sin 4x\sin x = 2\sin 4x(\sin 3x – \sin x) = 2\sin 4x(2\cos 2x\sin x) = 4\sin 4x\cos 2x\sin x$.
Mẫu số: $Mẫu = 2\sin 4x(\cos 3x + \cos x) = 2\sin 4x(2\cos 2x\cos x) = 4\sin 4x\cos 2x\cos x$.
Do đó $B = \frac{4\sin 4x\cos 2x\sin x}{4\sin 4x\cos 2x\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức $C = \frac{\sin 3a – \sin a}{1 – \cos 2a}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $\sin 3a – \sin a = 2\cos 2a \sin a$.
Mặt khác $1 – \cos 2a = 2\sin^2 a$.
Suy ra $C = \frac{2\cos 2a\sin a}{2\sin^2 a} = \frac{\cos 2a}{\sin a} = \cot a\cos 2a – \sin 2a$ hoặc để dạng $\frac{\cos 2a}{\sin a}$.
Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức $D = \frac{\sin 40^\circ + \sin 20^\circ}{\cos 40^\circ + \cos 20^\circ}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:
$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2\sin 30^\circ \cos 10^\circ$
$\cos 40^\circ + \cos 20^\circ = 2\cos 30^\circ \cos 10^\circ$
Suy ra $D = \frac{2\sin 30^\circ \cos 10^\circ}{2\cos 30^\circ \cos 10^\circ} = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Bài tập 5: Chứng minh đẳng thức $\frac{\cos a + 2\cos 3a + \cos 5a}{\sin a + 2\sin 3a + \sin 5a} = \cot 3a$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Tử số: $(\cos 5a + \cos a) + 2\cos 3a = 2\cos 3a\cos 2a + 2\cos 3a = 2\cos 3a(\cos 2a + 1)$.
Mẫu số: $(\sin 5a + \sin a) + 2\sin 3a = 2\sin 3a\cos 2a + 2\sin 3a = 2\sin 3a(\cos 2a + 1)$.
Do đó vế trái bằng $\frac{2\cos 3a(\cos 2a + 1)}{2\sin 3a(\cos 2a + 1)} = \frac{\cos 3a}{\sin 3a} = \cot 3a$ (đpcm).
Để lại phản hồi