Một vật chuyển động theo quy luật $s={{t}^{3}}-6{{t}^{2}}+42t+1$ với $t$ là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và $s$ là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó

Một vật chuyển động theo quy luật $s={{t}^{3}}-6{{t}^{2}}+42t+1$ với $t$ là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và $s$ là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Khi quãng đường vật đi đc là $186\left( \text{m} \right)$ thì vận tốc tức thời của vật là $57\left( \text{m/s} \right)$.

b) Trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, vận tốc nhỏ nhất của vật là $25\left( \text{m/s} \right)$.

c) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t=1\left( \text{s} \right)$ là $30\left( \text{m/s} \right)$.

d) Khi vật đạt vận tốc tức thời bằng $105\left( \text{m/s} \right)$ thì quãng đường vật đi được là $300\left( \text{m} \right)$.

Lời giải: Ta có: $v\left( t \right)={s}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}-12t+42\left( \text{m/s} \right)$. $v\left( 1 \right)={s}’\left( 1 \right)=33\left( \text{m/s} \right)$ $\Rightarrow$ đúng. $s=186\Leftrightarrow {{t}^{3}}-6{{t}^{2}}+42t+1=186\Leftrightarrow t=5$
$v\left( 5 \right)={s}’\left( 5 \right)=57\left( \text{m/s} \right)$. $\Rightarrow$ đúng.Ta có: $v\left( t \right)=3{{t}^{2}}-12t+42=3{{\left( t-2 \right)}^{2}}+30\ge 30$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $t=2$.
Suy ra $\max\limits_{t\in \left[ 0;2 \right]}\left[ v\left( t \right) \right]=30\left( \text{m/s} \right)$. $\Rightarrow$ đúng.Ta có: $v\left( t \right)=3{{t}^{2}}-12t+42=105\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=7 \\ t=-3 \end{array} \right.$
Do $t\ge 0\Rightarrow t=7$
$s\left( 7 \right)=344\left( \text{m} \right)$. $\Rightarrow$ đúng.
(Đúng) Khi quãng đường vật đi đc là $186\left( \text{m} \right)$ thì vận tốc tức thời của vật là $57\left( \text{m/s} \right)$.
(Vì): Ta có vận tốc tức thời $v\left( t \right)={s}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}-12t+42\left( \text{m/s} \right)$. Khi quãng đường $s=186$, ta có ${{t}^{3}}-6{{t}^{2}}+42t+1=186 \Leftrightarrow {{t}^{3}}-6{{t}^{2}}+42t-185=0$. Giải phương trình này, ta được $t=5$. Vận tốc tức thời của vật tại $t=5$ là $v\left( 5 \right)=3{{\left( 5 \right)}^{2}}-12\left( 5 \right)+42 = 75-60+42=57\left( \text{m/s} \right)$.
(Sai) Trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, vận tốc nhỏ nhất của vật là $25\left( \text{m/s} \right)$.
(Vì): Ta có vận tốc tức thời $v\left( t \right)={s}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}-12t+42 = 3{{\left( t-2 \right)}^{2}}+30$. Do $3{{\left( t-2 \right)}^{2}} \ge 0$ với mọi $t$, nên $v\left( t \right) \ge 30$. Dấu “=” xảy ra khi $t-2=0 \Leftrightarrow t=2$. Vì $t=2$ nằm trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên ($t \in \left[ 0;10 \right]$), vận tốc nhỏ nhất của vật là $30\left( \text{m/s} \right)$.
(Sai) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t=1\left( \text{s} \right)$ là $30\left( \text{m/s} \right)$.
(Vì): Ta có vận tốc tức thời $v\left( t \right)={s}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}-12t+42\left( \text{m/s} \right)$. Vận tốc tại thời điểm $t=1\left( \text{s} \right)$ là $v\left( 1 \right)=3{{\left( 1 \right)}^{2}}-12\left( 1 \right)+42 = 3-12+42=33\left( \text{m/s} \right)$.
(Sai) Khi vật đạt vận tốc tức thời bằng $105\left( \text{m/s} \right)$ thì quãng đường vật đi được là $300\left( \text{m} \right)$.
(Vì): Ta có vận tốc tức thời $v\left( t \right)={s}’\left( t \right)=3{{t}^{2}}-12t+42$. Khi $v\left( t \right)=105$, ta có $3{{t}^{2}}-12t+42=105 \Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-12t-63=0 \Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t-21=0$. Giải phương trình bậc hai, ta được $t=7$ hoặc $t=-3$. Vì $t$ là khoảng thời gian nên $t \ge 0$, do đó $t=7$. Quãng đường vật đi được tại thời điểm $t=7$ là $s\left( 7 \right)={{7}^{3}}-6{{\cdot 7}^{2}}+42\cdot 7+1 = 343-294+294+1=344\left( \text{m} \right)$.