Một sợi dây kim loại dài $a$ $\left( \text{cm} \right)$. Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài $x$ $\left( \text{cm} \right)$ được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông

Một sợi dây kim loại dài $a$ $\left( \text{cm} \right)$. Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài $x$ $\left( \text{cm} \right)$ được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông $\left( a{>}x{>}0 \right).$

a) Bán kính đường tròn: $r=\dfrac{x}{\pi }$.

b) Diện tích hình vuông: ${{\left( \dfrac{a-x}{2} \right)}^{2}}$.

c) Tổng diện tích hai hình: $\dfrac{\left( 4+\pi \right).{{x}^{2}}-2a\pi x+\pi {{a}^{2}}}{16\pi }$.

d) Khi $x=\dfrac{a\pi }{2+\pi }$ thì hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

Lời giải: Gọi $r$ là bán kính đường tròn, $s$ là cạnh hình vuông.
Độ dài đoạn dây uốn thành đường tròn là $x$ $\left( \text{cm} \right)$, nên chu vi đường tròn là $2\pi r = x \Rightarrow r=\dfrac{x}{2\pi }$.
Diện tích hình tròn là ${{S}_{1}}=\pi {{r}^{2}}=\pi {{\left( \dfrac{x}{2\pi } \right)}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }$.
Độ dài đoạn dây còn lại là $a-x$ $\left( \text{cm} \right)$, nên chu vi hình vuông là $4s=a-x \Rightarrow s=\dfrac{a-x}{4}$.
Diện tích hình vuông là ${{S}_{2}}={{s}^{2}}={{\left( \dfrac{a-x}{4} \right)}^{2}}$.
Tổng diện tích hai hình là $S(x)={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }+{{\left( \dfrac{a-x}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{4{{x}^{2}}+\pi {{\left( a-x \right)}^{2}}}{16\pi }=\dfrac{4{{x}^{2}}+\pi \left( {{a}^{2}}-2ax+{{x}^{2}} \right)}{16\pi }=\dfrac{\left( 4+\pi \right){{x}^{2}}-2a\pi x+\pi {{a}^{2}}}{16\pi }$.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích, ta tính đạo hàm của $S(x)$:
${S}'(x)=\dfrac{1}{16\pi }\left( 2\left( 4+\pi \right)x-2a\pi \right)=\dfrac{\left( 4+\pi \right)x-a\pi }{8\pi }$.
Đặt ${S}'(x)=0 \Leftrightarrow \left( 4+\pi \right)x-a\pi =0 \Leftrightarrow x=\dfrac{a\pi }{4+\pi }$.
Để kiểm tra đây là cực tiểu, ta tính đạo hàm cấp hai: ${S}”(x)=\dfrac{4+\pi }{8\pi }$.
Vì $a{>}x{>}0$ và $\pi {>}0$, nên $4+\pi {>}0$, do đó ${S}”(x){>}0$. Điều này chứng tỏ $S(x)$ đạt cực tiểu tại $x=\dfrac{a\pi }{4+\pi }$.
(Sai) Bán kính đường tròn: $r=\dfrac{x}{\pi }$.
(Vì): Do $x$ là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $\left( 0{<}x{
(Sai) Diện tích hình vuông: ${{\left( \dfrac{a-x}{2} \right)}^{2}}$.
(Vì): Độ dài đoạn dây còn lại là $a-x$. Cạnh hình vuông là $\dfrac{a-x}{4}$. Diện tích hình vuông là ${{\left( \dfrac{a-x}{4} \right)}^{2}}$.
(Đúng) Tổng diện tích hai hình: $\dfrac{\left( 4+\pi \right).{{x}^{2}}-2a\pi x+\pi {{a}^{2}}}{16\pi }$.
(Vì): Diện tích hình tròn là ${{S}_{1}}=\dfrac{{{x}^{\text{2}}}}{4\pi }$. Diện tích hình vuông là ${{S}_{2}}={{\left( \dfrac{a-x}{4} \right)}^{2}}$. Tổng diện tích hai hình: $S=\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }+{{\left( \dfrac{a-x}{4} \right)}^{2}}$ $=\dfrac{4{{x}^{2}}+\pi {{\left( a-x \right)}^{2}}}{16\pi }=\dfrac{4{{x}^{2}}+\pi \left( {{a}^{2}}-2ax+{{x}^{2}} \right)}{16\pi }=\dfrac{\left( 4+\pi \right){{x}^{2}}-2a\pi x+\pi {{a}^{2}}}{16\pi }$.
(Sai) Khi $x=\dfrac{a\pi }{2+\pi }$ thì hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.
(Vì): Gọi $S(x)$ là tổng diện tích hai hình. Ta có ${S}'(x)=\dfrac{\left( 4+\pi \right)x-a\pi }{8\pi }$. Đặt ${S}'(x)=0 \Leftrightarrow \left( 4+\pi \right)x-a\pi =0 \Leftrightarrow x=\dfrac{a\pi }{4+\pi }$. Vì ${S}”(x)=\dfrac{4+\pi }{8\pi } {>} 0$ nên $S(x)$ đạt cực tiểu tại $x=\dfrac{a\pi }{4+\pi }$.