Một sợi dây kim loại dài $60cm$ được cắt thành hai đoạn

Một sợi dây kim loại dài $60cm$ được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh $a$, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính $r$.

a) $r=\dfrac{60-2a}{\pi }.$
.

b) Nếu cắt sợi dây thành hai đoạn bằng nhau và vẫn uốn thành một hình vuông và một hình tròn thì hình vuông có diện tích lớn hơn hình tròn.
.

c) Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là $\dfrac{1}{\pi }\left[ \left( \pi +4 \right){{a}^{2}}-120a+900 \right]$.
.

d) Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số $\dfrac{a}{r}$ bằng $\dfrac{1}{2}.$
.

Lời giải: Ta có:
$4a+2\pi r=60$ $\Leftrightarrow \pi r=30-2a\Leftrightarrow r=\dfrac{30-2a}{\pi }.$
SAI.Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn:
$S={{a}^{2}}+{{r}^{2}}\pi$ $={{a}^{2}}+\dfrac{{{\left( 30-2a \right)}^{2}}}{\pi }=\dfrac{1}{\pi }\left[ \left( \pi +4 \right){{a}^{2}}-120a+900 \right]$
ĐÚNG.Điều kiện: $0{<}4a{<}a{
Xét $f(a)=\left( \pi +4 \right){{a}^{2}}-120a+900$ với $a\in \left( 0,15 \right)$
$f(a)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $a=\dfrac{120}{2\left( \pi +4 \right)}=\dfrac{60}{\pi +4}\in \left( 0,15 \right)$.
$S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $a=\dfrac{60}{\pi +4}$.
$\Rightarrow \pi r=30-2.\dfrac{60}{\pi +4}=\dfrac{30\pi }{\pi +4}$ $\Rightarrow r=\dfrac{30}{\pi +4}$
Khi đó: $\dfrac{a}{r}=\dfrac{60}{\pi +4}:\dfrac{30}{\pi +4}=2$.
Kết luận: $\dfrac{a}{r}=2$.
SAI $a=\dfrac{15}{2},r=\dfrac{15}{2\pi }$.
Diện tích hình vuông là ${{S}_{1}}={{\left( \dfrac{15}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{225}{4}=56,25c{{m}^{2}}$
Diện tích hình tròn là ${{S}_{2}}=\pi {{r}^{2}}=\dfrac{225}{4\pi }\approx 17,9c{{m}^{2}}$
SAI.
(Sai) $r=\dfrac{60-2a}{\pi }.$

(Vì): Ta có chu vi hình vuông là $4a$ và chu vi hình tròn là $2\pi r$. Tổng chiều dài sợi dây là $60cm$, nên $4a+2\pi r=60$. Từ đó, $2\pi r=60-4a \Leftrightarrow \pi r=30-2a \Leftrightarrow r=\dfrac{30-2a}{\pi }$. Do đó, công thức $r=\dfrac{60-2a}{\pi }$ là sai.
(Sai) Nếu cắt sợi dây thành hai đoạn bằng nhau và vẫn uốn thành một hình vuông và một hình tròn thì hình vuông có diện tích lớn hơn hình tròn.

(Vì): Với hai đoạn dây bằng nhau, mỗi đoạn dài $30cm$. Hình vuông có chu vi $4a=30 \Rightarrow a=\dfrac{30}{4}=\dfrac{15}{2}cm$. Diện tích hình vuông là ${{S}_{HV}}={{\left( \dfrac{15}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{225}{4}=56,25c{{m}^{2}}$. Hình tròn có chu vi $2\pi r=30 \Rightarrow r=\dfrac{30}{2\pi }=\dfrac{15}{\pi }cm$. Diện tích hình tròn là ${{S}_{HT}}=\pi {{r}^{2}}=\pi {{\left( \dfrac{15}{\pi } \right)}^{2}}=\dfrac{225}{\pi }\approx 71,62c{{m}^{2}}$. Vì ${{S}_{HT}} {>} {{S}_{HV}}$ ($71,62 {>} 56,25$), nên hình vuông có diện tích lớn hơn hình tròn là sai.
(Đúng) Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là $\dfrac{1}{\pi }\left[ \left( \pi +4 \right){{a}^{2}}-120a+900 \right]$.

(Vì): Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là $S={{a}^{2}}+\pi {{r}^{2}}$. Thay $r=\dfrac{30-2a}{\pi }$ vào, ta có $S={{a}^{2}}+\pi {{\left( \dfrac{30-2a}{\pi } \right)}^{2}} = {{a}^{2}}+\dfrac{{{\left( 30-2a \right)}^{2}}}{\pi } = {{a}^{2}}+\dfrac{900-120a+4{{a}^{2}}}{\pi } = \dfrac{\pi {{a}^{2}}+900-120a+4{{a}^{2}}}{\pi } = \dfrac{\left( \pi +4 \right){{a}^{2}}-120a+900}{\pi }$.
(Sai) Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số $\dfrac{a}{r}$ bằng $\dfrac{1}{2}.$

(Vì): Tổng diện tích $S = \dfrac{1}{\pi }\left[ \left( \pi +4 \right){{a}^{2}}-120a+900 \right]$. Để $S$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta tìm giá trị cực tiểu của hàm số $f(a)=\left( \pi +4 \right){{a}^{2}}-120a+900$. $f'(a) = 2(\pi+4)a – 120$. Đặt $f'(a)=0 \Rightarrow 2(\pi+4)a – 120 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{120}{2(\pi+4)} = \dfrac{60}{\pi+4}$. Khi đó, $r=\dfrac{30-2a}{\pi }=\dfrac{30-2\left( \dfrac{60}{\pi+4} \right)}{\pi }=\dfrac{30(\pi+4)-120}{\pi(\pi+4)}=\dfrac{30\pi+120-120}{\pi(\pi+4)}=\dfrac{30\pi}{\pi(\pi+4)}=\dfrac{30}{\pi+4}$. Tỉ số $\dfrac{a}{r}=\dfrac{60/(\pi+4)}{30/(\pi+4)} = \dfrac{60}{30}=2$. Do đó, tỉ số $a/r = 1/2$ là sai.