Một phần của bề mặt phía trên của các gợn sóng của nước biển có hình dạng đồ thị hàm số bậc ba khi gắn hệ trục tọa độ $Oxy$

Một phần của bề mặt phía trên của các gợn sóng của nước biển có hình dạng đồ thị hàm số bậc ba khi gắn hệ trục tọa độ $Oxy$. Biết rằng đồ thị hàm số bậc ba có các điểm cực trị lần lượt là $M\left( -2;1 \right)$ và $N\left( 0;1,2 \right)$, đơn vị trên hệ trục tọa độ là mét. Hai vị trí $A$ và $B$ có hoành độ lần lượt là $-3$ và $1$ nằm trên đường cong của các gợn sóng đó. Tính độ dài đường cong $AB$(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Biết rằng độ dài đường cong có phương trình $y=f\left( x \right)$ từ điểm $C\left( c;f\left( c \right) \right)$ tới điểm $D\left( d;f\left( d \right) \right)$ với $cLời giải
Đáp án: $4,07$ . Gọi hàm số bậc ba là $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có ${f}’\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ Do $M\left( -2;\,1 \right)$ và $N\left( 0;\,1,2 \right)$ là hai điểm cực trị nên $\left\{ \begin{align} & {f}’\left( -2 \right)=0 \\ & {f}’\left( 0 \right)=0 \\ \end{align} \right.$ và $\left\{ \begin{align} & f\left( -2 \right)=1 \\ & f\left( 0 \right)=1,2 \\ \end{align} \right.$ Thay vào tìm được $a=-0,05;\,\,b=-0,15;\,c=0;\,d=1,2$ suy ra ${f}’\left( x \right)=-0,15{{x}^{2}}-0,3x$
Vậy độ dài đường cong $AB$ là: ${{l}_{AB}}=\int\limits_{-3}^{1}{\sqrt{1+{{\left( -0,15{{x}^{2}}-0,3 \right)}^{2}}}\text{d}x}\approx 4,07$ mét.