. Một hộp đựng \(9\) tấm thẻ được đánh số từ \(1\) đến \(9\) . Gọi \(A\) là biến cố: “Có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho \(3\) ”. Hỏi phải rút bao nhiêu tấm thẻ để xác suất của biến cố \(A\) bằng \(\frac{{83}}{{84}}\).

Câu hỏi:
. Một hộp đựng \(9\) tấm thẻ được đánh số từ \(1\) đến \(9\) . Gọi \(A\) là biến cố: “Có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho \(3\) ”. Hỏi phải rút bao nhiêu tấm thẻ để xác suất của biến cố \(A\) bằng \(\frac{{83}}{{84}}\).
A. \(9\) . B. \(8\) . C. \(5\) . D. \(6\) .
Lời giải

Xét phép thử: “Rút ngẫu nhiên \(n\) tấm thẻ từ hộp đã cho”. Khi đó
\(n\left( \Omega \right) = C_9^n\)
\(\overline A \) là biến cố: “\(n\) tấm thẻ được chọn không có tấm thẻ nào được ghi số chia hết cho \(3\) ”.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{83}}{{84}} \Rightarrow 1 – P\left( {\overline A } \right) = \frac{{83}}{{84}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{{84}}\)
Trong \(9\) tấm thẻ có \(3\) tấm thẻ được ghi số chia hết cho \(3\) .
Chọn \(n\) tấm thẻ ghi số không chia hết cho \(3\) từ \(6\) tấm thẻ còn lại có: \(C_6^n\) cách.
Suy ra
\(\begin{array}{l}n\left( {\overline A } \right) = C_6^n \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\\P\left( {\overline A } \right) = \frac{{C_6^n}}{{C_9^n}} \Leftrightarrow \frac{{C_6^n}}{{C_9^n}} = \frac{1}{{84}} \Leftrightarrow 84.\frac{{6!}}{{n!\left( {6 – n} \right)!}} = \frac{{9!}}{{n!\left( {9 – n} \right)!}}\\ \Leftrightarrow 84\left( {9 – n} \right)\left( {8 – n} \right)\left( {7 – n} \right) = 9.8.7\\ \Leftrightarrow {n^3} – 24{n^2} + 191n – 498 = 0\\ \Leftrightarrow n = 6.\end{array}\)
Vậy số tấm thẻ phải rút là \(6\) .
BÀI TOÁN HÌNH HỌC.
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Xác suất