Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá $30.000$ đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $3000$ chiếc khăn.

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá $30.000$ đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $3000$ chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá $30.000$ đồng mà cứ tăng giá thêm $1000$ đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn $100$ chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là $18.000$. Hỏi:

a) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần tăng thêm $10000$ đồng?.

b) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá $38000$ đồng?.

c) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi chiếc khăn lãi $22000$ đồng?.

d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm $900$ chiếc?.

Lời giải:
Gọi $x$ là số lần tăng giá $1000$ đồng.
Vì cứ tăng giá thêm $1000$ đồng thì số khăn bán ra giảm $100$ chiếc nên tăng $x$ lần $1000$ đồng thì số khăn bán ra giảm $100x$ chiếc.
Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: $3000-100x$ chiếc.
Giá bán ban đầu là $30000$ đồng, vốn là $18000$ đồng, nên lãi ban đầu là $12000$ đồng mỗi chiếc.
Sau khi tăng giá $x$ lần $1000$ đồng, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: $12000 + 1000x$ đồng.
Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:
$P\left( x \right)=\left( 3000-100x \right)\left( 12000+1000x \right)$.
Để đơn giản hóa, ta xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{P(x)}{1000}=\left( 3000-100x \right)\left( 12+x \right)$ trên khoảng $x \in \left( 0;+\infty \right)$.
Ta có: $f\left( x \right) = 3000(12+x) – 100x(12+x) = 36000 + 3000x – 1200x – 100{{x}^{2}} = -100{{x}^{2}}+1800x+36000$.
Để tìm giá trị lớn nhất, ta tính đạo hàm $f’\left( x \right)$:
$f’\left( x \right)=-200x+1800$.
Cho $f’\left( x \right)=0\Leftrightarrow -200x+1800=0\Leftrightarrow x=9$.
Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi $x=9$.
Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là $9 \times 1000 = 9000$ đồng.
Giá bán mới của mỗi chiếc khăn là $30000 + 9000 = 39000$ đồng.
Số khăn bán ra giảm đi là $100 \times 9 = 900$ chiếc.
Số khăn bán ra là $3000 – 900 = 2100$ chiếc.
Lãi trên mỗi chiếc khăn là $39000 – 18000 = 21000$ đồng.
(Sai) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần tăng thêm $10000$ đồng?
(Vì): Lợi nhuận đạt lớn nhất khi cần tăng giá $9$ lần $1000$ đồng, tức là $9000$ đồng, không phải $10000$ đồng.
(Sai) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá $38000$ đồng?
(Vì): Lợi nhuận đạt lớn nhất khi tăng giá $9000$ đồng. Giá bán mới là $30000 + 9000 = 39000$ đồng, không phải $38000$ đồng.
(Sai) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi chiếc khăn lãi $22000$ đồng?
(Vì): Lợi nhuận đạt lớn nhất khi tăng giá $9000$ đồng. Lãi trên mỗi chiếc khăn là $30000 + 9000 – 18000 = 21000$ đồng, không phải $22000$ đồng.
(Đúng) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm $900$ chiếc?
(Vì): Lợi nhuận đạt lớn nhất khi tăng giá $9$ lần $1000$ đồng. Số khăn bán ra giảm đi là $100 \times 9 = 900$ chiếc.