Đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba

Đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba, không chứa tham số.

VD 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số $y = {x^3} – 6{x^2} + 9x – 3.$

TXĐ: $D = R.$
Ta có:
${\rm{y’}} = {\rm{3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}–{\rm{12x}} + {\rm{9}}.$
${\rm{y’}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 3
\end{array} \right.$
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số $y = {x^3} – 6{x^2} + 9x – 3$ đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {{\rm{3;}} + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {{\rm{1;3}}} \right).$

VD 2:  Tìm khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)=-x^3+3x^2\)
Giải
TXĐ: D = R
\(f'(x)=-3x^2+3.2x\)
\(=-3x(x-2)\)
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.\)

Hàm số đồng biến trên (0;2)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty ;0);(2;+\infty)\)

Chú ý:  Hàm số đồng biến nghịch biến trên (a;b); (c;d) thì chưa chắc đồng biến (nghịch biến) ​trên \((a;b)\cup (c;d)\)
VD 3:  Tìm khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)=x^3-3x^2+3x+2\)
Giải 
TXĐ: D = R
\(f'(x)=3x^2-6x+3\)
\(=3(x^2-2x+1)\)
\(=3(x-1)2\)
\(f'(x)\geq 0 \ \forall x, f'(x)=0\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

Hàm số đồn biến trên R
VD 4:  Tìm khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x)=x^3+x^2+8x+6\)
Giải
TXĐ: D = R
\(f'(x)=3x^2+2x+8>0 \ \forall x\in R\)
Vì \(\left\{\begin{matrix} \Delta ‘=1-3.8=-23< 0\\ a=3>0 \end{matrix}\right.\)
Kết luận: Hàm số đồng biến trên R