LÝ THUYẾT VỀ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ VÍ DỤ
PHƯƠNG PHÁP
Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thực hiện các bước giải như sau:
1. Tìm tập xác định. Tính \(f’\left( x \right)\) .
2. Tìm các điểm tại đó \(f’\left( x \right)\) bằng 0 hoặc \(f’\left( x \right)\) không xác định.
3. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = {x^3} – \frac{1}{2}{x^2} – 2x\) .
Lời giải
+ Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) .
+ \(y’ = 3{x^2} – x – 2\) .
+ \(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – \frac{2}{3}\end{array} \right.\) .
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty \,;\, – \frac{2}{3}} \right)\) và \(\left( {1\,;\, + \infty } \right)\) ; hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \frac{2}{3}\,;\,1} \right)\) .
Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 2}}\) .
Lời giải
+ Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}\) .
+ \(y’ = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne – 2\) .
+ \(y’\) không xác định khi \(x = – 2\) .
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty \,;\, – 2} \right)\) và \(\left( { – 2\,;\, + \infty } \right)\) .
Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = \sqrt {2x – {x^2}} \) .
Lời giải
+ Tập xác định \(D = \left[ {0;\,\,2} \right]\) .
+ \(y’ = \frac{{1 – x}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}\) .
+ \(y’ = 0 \Leftrightarrow 1 – x = 0 \Leftrightarrow x = 1\) .
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( {0\,;\,1} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {1\,;\,2} \right)\) .
Bài 4. Cho hàm số \(y = {x^3} – \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {3m + 2} \right)x + 2\) . Tìm \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2;\, + \infty } \right)\) .
Lời giải
+ Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) .
+ \(y’ = 3{x^2} – 2\left( {m + 2} \right)x + 3m + 2\) .
+ Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2;\, + \infty } \right)\) nếu \(y’ \ge 0\) , \(\forall x \in \left( {2;\, + \infty } \right)\) (dấu “ \( = \) ” xảy ra tại hữu hạn điểm)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} – 2\left( {m + 2} \right)x + 3m + 2 \ge 0\) , \(\forall x \in \left( {2;\, + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow 3{x^2} – 4x + 2 \ge m\left( {2x – 3} \right)\) , \(\forall x \in \left( {2;\, + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow m \le \frac{{3{x^2} – 4x + 2}}{{2x – 3}}\) , \(\forall x \in \left( {2;\, + \infty } \right)\) .
Xét hàm \(g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} – 4x + 2}}{{2x – 3}}\) , \(x \in \left( {2;\, + \infty } \right)\) .
\(g’\left( x \right) = \frac{{6{x^2} – 18x + 8}}{{{{\left( {2x – 3} \right)}^2}}} > 0\) , \(\forall x \in \left( {2;\, + \infty } \right)\) .
Bảng biến thiên:
Vậy \(m \le \frac{{3{x^2} – 4x + 2}}{{2x – 3}}\) , \(\forall x \in \left( {2;\, + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow m \le 6\) .
Bài 5. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{\cot ^3}x – m{\cot ^2}x + \cot x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) . Tập \(S\) có chứa bao nhiêu số nguyên dương?
Lời giải
Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{\cot ^3}x – m{\cot ^2}x + \cot x + 1\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) .
Ta có: \(y’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\left( {{{\cot }^2}x – 2m\cot x + 1} \right)\) .
Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) \( \Leftrightarrow y’ \le 0\) , \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) (dấu “ \( = \) ” xảy ra tại hữu hạn điểm) \( \Leftrightarrow {\cot ^2}x – 2m\cot x + 1 \ge 0\) , \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) \(\left( 1 \right)\) .
Đặt \(t = \cot x\) . Khi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có: \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\) .
Khi đó \(\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow {t^2} – 2mt + 1 \ge 0\) , \(\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\) , \(\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\) \(\left( * \right)\) .
Xét \(f\left( t \right) = \frac{1}{2}\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\) , \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\) . Ta có: \(f\left( t \right) \ge \frac{1}{2}.2\sqrt {t.\frac{1}{t}} = 1\) , dấu xảy ra khi \(t = 1\) .
Tập giá trị của \(f\left( t \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là \(\left[ {1; + \infty } \right)\) , do đó: \(\left( * \right)\) \( \Leftrightarrow m \le 1\) .
Vậy \(S = \left( { – \infty ;1} \right]\) nên \(S\) chứa đúng 1 số nguyên dương.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
🖎 MỨC ĐỘ 1
Câu 1. Kí hiệu \(K\) là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn. Giả sử \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(y = f\left( x \right)\) đồng biến (tăng) trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K\) mà \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\) .
B. \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến (giảm) trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K\) mà \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\) .
C. \(y = f\left( x \right)\) không đổi trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K\) mà \({x_1} \ne {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)\) .
D. Cả 3 khẳng định trên đều đúng.
Lời giải
Chọn D
Theo định nghĩa về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số ta thấy cả 3 khẳng định A, B, C đều đúng. Do đó chọn phương án D.
Câu 2. Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) , \(\left( {a \ne 0} \right)\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} – 3ac < 0}\\{a > 0}\end{array}} \right.\) .
B. \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} – 3ac < 0}\\{a < 0}\end{array}} \right.\) .
C. \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} – 3ac > 0}\\{a > 0}\end{array}} \right.\) .
D. \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} – 3ac > 0}\\{a < 0}\end{array}} \right.\) .
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\) .
\(f’\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\) có \(\Delta ‘ = {b^2} – 3ac\) .
Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2 ta có \(f’\left( x \right) > 0\) , \(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} – 3ac < 0}\\{a > 0}\end{array}} \right.\) .
Mặt khác nếu \(f’\left( x \right) > 0\) , \(\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) . Suy ra c phương án đúng là A.
Câu 3. Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có \(ad – bc < 0\) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) .
B. Hàm số đồng biến trên \(\left( { – \infty ;\, – \frac{d}{c}} \right)\) và \(\left( { – \frac{d}{c};\, + \infty } \right)\) .
C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { – \infty ;\, – \frac{d}{c}} \right)\) và \(\left( { – \frac{d}{c};\, + \infty } \right)\) .
D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { – \infty ;\, – \frac{d}{c}} \right)\)\( \cup \)\(\left( { – \frac{d}{c};\, + \infty } \right)\) .
Lời giải
Chọn C
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{d}{c}} \right\}\) .
Do \(f’\left( x \right) = ad – cb < 0\) , \(\forall x \in D\) nên hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;\, – \frac{d}{c}} \right)\) và \(\left( { – \frac{d}{c};\, + \infty } \right)\) . Do đó chọn phương án C.
Câu 4. Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có \(ad – bc > 0\) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) .
B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến tại mọi x thuộc tập xác định.
D. Hàm số đồng biến trên tập xác định.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{d}{c}} \right\}\) .
\(y’ = \frac{{ad – bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) ; vì \(ad – bc > 0\) nên \(y’ > 0\) , \(\forall x \in D\) . Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Câu 5. Cho số thực \(a > 0\) , hàm số nào sau đây có thể đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\) ?
A. \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) . B. \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) .
C. \(f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có \(ad – bc \ne 0\) . D. \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) .
Lời giải
Chọn A
Xét phương án A: \(f’\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\) . Để hàm số đồng biến trên \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\) thì \(f’\left( x \right) \ge 0\) , \(\forall x \in \mathbb{R}\) . Suy ra \(\Delta \le 0\) , \(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow {b^2} – 3ac \le 0\) . Phương án A đúng.
Xét phương án B: \(f’\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx\) . Để hàm số đồng biến trên \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\) thì \(f’\left( x \right) \ge 0\) , \(\forall x \in \mathbb{R}\) . Suy ra \(f’\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx \ge 0\) , \(\forall x \in \mathbb{R}\) .
Vì \(a > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f’\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {4a{x^3} + 2bx} \right) = – \infty \) .
Do đó không tồn tại \(a\) , \(b\) để \(f’\left( x \right) \ge 0\) , \(\forall x \in \mathbb{R}\) . Vậy phương án B sai.
Xét phương án C: Vì Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{d}{c}} \right\}\) nên hàm số không thể đồng biến trên \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\) . Do đó phương án C sai.
Xét phương án D: \(f’\left( x \right) = 2ax + b\) .
Để hàm số đồng biến trên \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\) thì \(f’\left( x \right) \ge 0\) , \(\forall x \in \mathbb{R}\) . Suy ra \(f’\left( x \right) = 2ax + b \ge 0\) , \(\forall x \in \mathbb{R}.\)
Vì \(a > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f’\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {2ax + b} \right) = – \infty \) .
Do đó không tồn tại \(a\) , \(b\) để \(f’\left( x \right) \ge 0\) , \(\forall x \in \mathbb{R}\) . Vậy phương án D sai.
Câu 6. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Nếu \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \(f’\left( x \right) > 0\) , \(\forall x\) trên khoảng đó.
B. Nếu \(f’\left( x \right) < 0\) , \(\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng đó.
C. Nếu \(f’\left( x \right) > 0\) , \(\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng đó.
D. Nếu \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \(f’\left( x \right) < 0\) , \(\forall x\) trên khoảng đó.
Lời giải
Chọn C
Theo định lí và định lí mở rộng về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số thì phương án đúng là C.
Câu 7. Giả sử \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng \(K\) . Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. Nếu \(f’\left( x \right) > 0\) , \(\forall x \in K\) thì \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\) .
B. Nếu \(f’\left( x \right) < 0\) , \(\forall x \in K\) thì \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\) .
C. Nếu \(f’\left( x \right) \ge 0\) \(\left( {f’\left( x \right) \le 0} \right)\) , \(\forall x \in K\) thì \(f\left( x \right)\) đồng biến (nghịch biến) trên \(K\) .
D. Nếu \(f’\left( x \right) \ge 0\) \(\left( {f’\left( x \right) \le 0} \right)\) , \(\forall x \in K\) và \(f’\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số điểm hữu hạn thì \(f\left( x \right)\) đồng biến (nghịch biến) trên \(K\) .
Lời giải
Chọn C
Theo định lí và định lí mở rộng về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số thì khẳng định C là sai.
Câu 8. Giả sử \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên một khoảng \(K\) . Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. Nếu \(f’\left( x \right) \ge 0\) , \(\forall x \in K\) và \(f’\left( x \right) = 0\) chỉ tại hữu hạn điểm thì \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\) .
B. Nếu \(f’\left( x \right) \le 0\) , \(\forall x \in K\) và \(f’\left( x \right) = 0\) chỉ tại hữu hạn điểm thì \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\) .
C. Nếu \(f’\left( x \right) = 0\) , \(\forall x \in K\) thì \(f\left( x \right)\) không đổi trên \(K\) .
D. Nếu \(f’\left( x \right) \ge 0\) , \(\forall x \in K\) thì \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\) .
Lời giải
Chọn D
Theo định lí mở rộng về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số thì khẳng định D là sai.
Câu 9. Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên một khoảng \(K\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\) \( \Leftrightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} – {x_1}}} > 0\) , \(\forall {x_1},{x_2} \in K\) , \(\left( {{x_2} \ne {x_1}} \right)\) .
B. \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\) \( \Leftrightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} – {x_1}}} < 0\) , \(\forall {x_1},{x_2} \in K\) , \(\left( {{x_2} \ne {x_1}} \right)\) .
C. \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\) \( \Leftrightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} – {x_1}}} \ge 0\) , \(\forall {x_1},{x_2} \in K\) , \(\left( {{x_2} \ne {x_1}} \right)\) .
D. Các khẳng định A và B đều đúng.
Lời giải
Chọn C
Theo định nghĩa về sự đồng biến nghịch biến của hàm số thì khẳng định C là sai. Còn A, B đều đúng.
Câu 10. Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. Nếu \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\) thì đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đi lên từ trái sang phải.
B. Nếu \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\) thì đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đi xuống từ trái sang phải.
C. Nếu \(f\left( x \right)\) không đổi thì đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) song song với trục \(Ox\) .
. D. Nếu \(f\left( x \right)\) không đổi thì đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) vuông góc với trục \(Oy\) .
Lời giải
Chọn C
Nếu \(f\left( x \right)\) không đổi thì đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) song song hoặc trùng với trục \(Ox\) . Do đó C sai.
🖎 MỨC ĐỘ 2
Câu 1. Cho hàm \(y = \sqrt {{x^2} – 6x + 5} \) . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {5; + \infty } \right).\) B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right).\)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right).\) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;3} \right).\)
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: \(D = \left( { – \infty ;1} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\) .
Ta có \(y’ = \frac{{x – 3}}{{\sqrt {{x^2} – 6x + 5} }} > 0\) , \(\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)\) .
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {5; + \infty } \right).\)
Câu 2. Cho hàm số \(y = \frac{{x – 2}}{{x + 3}}\) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\) .
B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\) .
Lời giải
Chọn C
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3} \right\}\) .
\(y’ = \frac{5}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0\) , \(\forall x \in D\) .
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – 3} \right)\) và \(\left( { – 3; + \infty } \right)\) .
Câu 3. Hàm số nào đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\) ?
A. \(y = \sqrt {x + 1} \) . B. \(y = {x^3} + x – 2\) . C. \(y = – {x^4} + 2{x^2} + 1\) . D.\(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\) .
Lời giải
Chọn B
Ta có \(y = {x^3} + x – 2\)\( \Rightarrow y’ = 3{x^2} + 1 > 0\) , \(\forall x \in \mathbb{R}\) .
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\) .
Câu 4. Hàm số \(y = \sqrt {4 + 2x – {x^2}} \) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. \(\left( {1;\, + \infty } \right)\) . B. \(\left( { – 1;\,3} \right)\) . C.\(\left( { – \infty ;\,1} \right)\) . D. \(\left( {1;\,3} \right)\) .
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số: \(y = \sqrt {4 + 2x – {x^2}} \) có:
Tập xác định: \(D = \left[ {1 – \sqrt 5 \,;\,1 + \sqrt 5 } \right]\) .
\(y’ = \frac{{{{\left( {4 + 2x – {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4 + 2x – {x^2}} }} = \frac{{2 – 2x}}{{2\sqrt {4 + 2x – {x^2}} }} = \frac{{1 – x}}{{\sqrt {8 + 2x – {x^2}} }}\) ; \(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1\) .
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số \(y = \sqrt {4 + 2x – {x^2}} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;\,3} \right)\) .
Câu 5. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A . Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 2\,;\, – 1} \right).\) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right).\)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;0} \right).\) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 1;3} \right).\)
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) .
Ta có \(y’ < 0\) , \(\forall x \in \left( { – \infty \,;\, – 1} \right)\) và \(\left( {0\,;3} \right)\) .
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty \,;\, – 1} \right)\) và \(\left( {0\,;3} \right)\) .
Câu 6. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1\,;\,5} \right).\) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty \,;\, – 1} \right).\)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; – 2} \right).\) D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;1} \right).\)
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\) .
Ta có \(y’ < 0\) , \(\forall x \in \left( { – \infty \,;\, – 1} \right)\) ; \(\left( {1\,; – 2} \right)\) và \(\left( {2\,;\,5} \right)\) .
Vậy \(y’ < 0\) , \(\forall x \in \left( {1\,;\,5} \right)\) (không thỏa mãn ). Suy ra hàm số không nghịch biến trên \(\left( {1\,;\,5} \right).\)
Câu 7. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f’\left( x \right) = x\left( { – x + 1} \right){\left( {x – 3} \right)^2}{\left( {x + 4} \right)^3}.\) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1\,;\,2} \right).\) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty \,;\, – 4} \right).\)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 1;4} \right).\) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 1\,; + \infty } \right).\)
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\) .
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\ – x + 1 = 0\\{\left( {x – 3} \right)^2} = 0\\{\left( {x + 4} \right)^3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 3\\x = – 4\end{array} \right.\) .
Bảng xét dấu:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1\,;\,2} \right).\)
Câu 8. Hàm số \(y = {x^3} – 2\left( {m + 1} \right){x^2} + x – 2m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) . Khi đó giá trị nguyên của \(m\) thuộc vào tập hợp nào sau đây?
A. \(\left\{ { – 2\,;\, – 1\,;\,0\,;\,1} \right\}\) . B. \(\left\{ { – 1\,} \right\}\) . C. \(\emptyset \) . D. \(\left\{ { – 1\,;\,0\,} \right\}\) .
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số: \(y = {x^3} – 2\left( {m + 1} \right){x^2} + x – 2m\) có:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\) .
\(y’ = 3{x^2} – 4\left( {m + 1} \right)x + 1\) ;
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 16{m^2} + 32m + 4 \le 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{ – 2 – \sqrt 3 }}{2} \le m \le \frac{{ – 2 + \sqrt 3 }}{2}\) .
Câu 9. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị đạo hàm \(y = f’\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {3\,;\,5} \right)\) . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1\,;\,4} \right)\) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0\,;2} \right)\) . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty \,;\, – 1} \right)\) .
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\) .
Từ đồ thị ta có trên khoảng \(\left( {3\,;\,5} \right)\) thì đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) nằm dưới trục hoành.
Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {3\,;\,5} \right).\)
Câu 10. Hàm số \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định. Khi đó giá trị của \(m\) là tập hợp nào sau đây?
A. \(\left( { – 2\,;2} \right)\) . B. \(\left( { – \infty \,;\, – 2} \right)\) , \(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\) .
C.\(\left[ { – 2\,;2} \right]\) . D. \(\left( { – \infty \,;\, – 2} \right]\) , \(\left[ {2\,;\, + \infty } \right)\) .
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\) có:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – m} \right\}\) .
\(y’ = \frac{{{m^2} – 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\) .
Hàm số \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định khi \(y’ = \frac{{{m^2} – 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} > 0\) , \(\left( {x \ne – m} \right)\) \( \Leftrightarrow {m^2} – 4 > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < – 2\\m > 2\end{array} \right.\) .
Trả lời