Đề: Với $n$ là số nguyên dương cho trước, hãy biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình.                                         $\frac{{{x^{2n + 2}}}}{{2n + 2}} + \frac{{{x^{n + 2}}}}{{n + 2}} + \frac{{{x^2}}}{2} + a = 0$

Đề bài: Với $n$ là số nguyên dương cho trước, hãy biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình.                                         $\frac{{{x^{2n + 2}}}}{{2n + 2}} + \frac{{{x^{n + 2}}}}{{n + 2}} + \frac{{{x^2}}}{2} + a = 0$

Lời giải

Viết lại phương trình đã cho dưới dạng:
    $f\left( x \right) = \frac{{{x^{2n + 2}}}}{{2n + 2}} + \frac{{{x^{n + 2}}}}{{n + 2}} + \frac{{{x^2}}}{2} = – a$
$f\left( x \right)$ là hàm chẵn nên đồ thị của $f\left( x \right)$ đối xứng qua trục tung.
$f\left( 0 \right) = 0$ và ${f^’}\left( x \right) = {x^{2n + 1}} + {x^{n + 1}} + x \ge 0,\forall x \ge 0$
$\Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm tăng trên $\left[ {0, + \infty } \right)$.
Vậy ta có kết quả:
    $a > 0$: Phương trình vô nghiệm
    $a = 0$: Phương trình có một nghiệm $x = 0$
    $a